В этом разборе рассмотрим задачу из ОГЭ по математике (задание 15) на тему «Прямоугольный треугольник и описанная окружность». Вы узнаете, почему гипотенуза является диаметром описанной окружности и как быстро найти радиус.
Условие задачи
В треугольнике ABC известно, что AC = 16, BC = 12, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
Теоретическая справка
Что такое окружность, описанная около треугольника?
Окружность называется описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на этой окружности. Центр описанной окружности обычно обозначают буквой O, а радиус — R.
Где находится центр описанной окружности прямоугольного треугольника?
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.
Почему это так?
Вспомним важное понятие — вписанный угол. Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
В треугольнике ABC угол C = 90°. Так как окружность описана около треугольника, вершина C лежит на этой окружности. Значит, угол C — вписанный, и он равен 90°.
Если вписанный угол равен 90°, то он опирается на диаметр.
Следовательно, сторона AB (противоположная углу C) — это диаметр описанной окружности.
Вывод: центр окружности — это середина гипотенузы AB. А гипотенуза AB равна диаметру описанной окружности.
Как найти радиус?
Радиус равен половине диаметра. Значит, для прямоугольного треугольника: R = AB / 2, где AB — гипотенуза.
Как найти гипотенузу?
Используем теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Катеты — это стороны, образующие прямой угол (AC и BC).
AB² = AC² + BC²
Решение
- Угол C = 90°, значит стороны AC и BC — катеты, а AB — гипотенуза.
- Находим гипотенузу AB по теореме Пифагора:
AB² = AC² + BC²
AB² = 16² + 12² = 256 + 144 = 400
AB = √400 = 20 - Радиус описанной окружности:
R = AB / 2 = 20 / 2 = 10
Ответ: 10
Запомните
- В прямоугольном треугольнике гипотенуза — это диаметр описанной окружности.
- Радиус = гипотенуза / 2.
Поставьте 👍, если материал был полезен. Подпишитесь на канал, чтобы не пропустить разборы других заданий ОГЭ.
#ОГЭ2026 #математика #задание15 #геометрия #треугольник #окружность #репетиторпоматематике