В этой статье разбираем уравнение (4x+3)² = (x+3)² из задания 13 ВПР по математике для 8 класса. Покажу три способа решения: через разность квадратов, через раскрытие скобок и через модуль. Выберите тот, который вам понятнее.
Условие
Решить уравнение (4x + 3)² = (x + 3)².
✍ Решение
1⃣ Способ первый: формула разности квадратов
📖 Что мы делаем?
Мы замечаем, что в левой и правой частях уравнения стоят квадраты выражений: (4x + 3)² и (x + 3)². Если перенести всё в одну сторону, получится выражение вида a² − b². А для него есть готовая формула разности квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b). После этого получаем произведение двух скобок, равное нулю.
✅ Плюсы этого способа
• Быстро — одно действие вместо двух возведений в квадрат
• Мало вычислений — меньше шансов ошибиться
• Короткая запись
❌ Минусы этого способа
• Не всегда очевидно, что нужно перенести всё в левую сторону
• Подходит только тогда, когда в уравнении есть разность квадратов (не для всех уравнений)
Решаем уравнение:
- Переносим всё в левую часть:
(4x + 3)² − (x + 3)² = 0 - Применяем формулу a² − b² = (a − b)(a + b), где a = (4x + 3), b = (x + 3):
((4x + 3) − (x + 3)) · ((4x + 3) + (x + 3)) = 0 - Раскрываем скобки и приводим подобные в первой скобке: (4x + 3) − (x + 3) = 4x + 3 − x − 3 = 3x
- Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые во второй скобке: (4x + 3) + (x + 3) = 4x + 3 + x + 3 = 5x + 6
- Получили: 3x · (5x + 6) = 0
- Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это означает, что если в произведении нескольких множителей один из них равен нулю, то всё произведение автоматически становится равным нулю, независимо от значений остальных множителей.
3x = 0 или 5x + 6 = 0
Решаем каждое уравнение:
3x = 0
x = 0
5x + 6 = 0
5x = −6
x = −6/5
x = −1,2
Ответ: −1,2; 0.
2⃣ Способ второй: возведение в квадрат (раскрытие скобок)
Это самый универсальный способ.
Мы будем использовать формулу квадрата суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Эта формула работает для любых чисел и выражений. Нам нужно понять, что в нашем уравнении играет роль a, а что — b. Раскрываем скобки по формуле. Получаем обычное квадратное уравнение, приводим подобные слагаемые и решаем.
✅ Плюсы этого способа
• Универсальный — подходит для любых уравнений с квадратами
• Понятный, последовательный алгоритм (действуешь по шагам)
• Не нужно думать, как преобразовать уравнение — просто раскрываешь скобки
❌ Минусы этого способа
• Вычислений больше, чем в первом способе — выше риск ошибки в знаках
• Запись длиннее — занимает больше времени
Решаем уравнение:
- Раскрываем скобки в левой части: (4x + 3)²
Здесь: a = 4x (первое слагаемое), b = 3 (второе слагаемое)
Подставляем в формулу (a + b)² = a² + 2ab + b²:
(4x + 3)² = (4x)² + 2 · 4x · 3 + 3² = 16x² + 24x + 9 - Раскрываем скобки в правой части: (x + 3)²
Здесь: a = x (первое слагаемое), b = 3 (второе слагаемое)
Подставляем в формулу:
(x + 3)² = x² + 2 · x · 3 + 3² = x² + 6x + 9 - Теперь, когда мы раскрыли скобки в левой и правой частях, подставляем полученные выражения в уравнение:
16x² + 24x + 9 = x² + 6x + 9 - Переносим всё в левую часть уравнения:
16x² + 24x + 9 − x² − 6x − 9 = 0 - Приводим подобные слагаемые:
16x² − x² = 15x²
24x − 6x = 18x
9 − 9 = 0
Получаем: 15x² + 18x = 0 - Выносим общий множитель 3x:
3x · (5x + 6) = 0 - Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
3x = 0 или 5x + 6 = 0
x = 0 5x = −6
x = −6/5
x = −1,2
Ответ: −1,2; 0.
3⃣ Способ третий: извлечение квадратного корня (через модуль)
Мы помним важное правило: √(a²) = |a| (модуль числа). Если взять квадратный корень от обеих частей уравнения, то квадраты исчезнут, но появятся модули. А уравнение с модулями |A| = |B| равносильно двум уравнениям: A = B или A = −B.
✅ Плюсы этого способа
• Очень быстро — всего несколько строчек
• Не нужно раскрывать скобки и приводить подобные
• Красивое и элегантное решение
❌ Минусы этого способа
• Нужно твёрдо знать, что √(a²) = |a|, а не просто a
• Нужно уметь решать уравнения с модулями
• Легко забыть про второй случай (с минусом)
Решаем уравнение:
- Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:
√((4x+3)²) = √((x+3)²) - По правилу √(a²) = |a| получаем:
|4x + 3| = |x + 3|
Почему появляется модуль? Потому что √(a²) — это всегда неотрицательное число. Например, √9 = 3, а √((−3)²) = 3. Поэтому √(a²) = |a|, а не просто a.
3. Уравнение с модулями |A| = |B| равносильно двум уравнениям:
Случай 1: 4x + 3 = x + 3
Случай 2: 4x + 3 = –(x + 3)
Решим каждое уравнение.
Случай 1
4x + 3 = x + 3
4x − x = 3 − 3
3x = 0
x = 0
Случай 2 (берём правую часть с минусом)
4x + 3 = −(x + 3)
4x + 3 = −x − 3
4x + x = −3 − 3
5x = −6
x = −6/5
x = −1,2
Ответ: −1,2; 0
Почему второй случай с минусом? Потому что модули чисел равны, когда сами числа равны или когда они противоположны.
📌 Что важно запомнить
• Формула квадрата суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b² (пригодится, когда нужно раскрыть скобки)
• Разность квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b) (помогает решать быстро, без раскрытия скобок)
• При извлечении корня из квадрата получается МОДУЛЬ: √(a²) = |a| (нельзя просто убрать квадрат, забыв про минус)
• Если произведение равно нулю → хотя бы один из множителей равен нулю (основное правило для уравнений вида (…)·(…) = 0)
• Проверка корней — не обязательна, но желательна, особенно если вы сомневаетесь
✅ Сохраните этот пост, чтобы не потерять разбор.
👍 Мне будет приятно, если поставите лайк — это поможет увидеть пост тем, кому нужна помощь.
💬 Если что-то осталось непонятным, пожалуйста, спрашивайте в комментариях — разберём вместе.
#ВПР2026 #математика8класс #задание13 #репетиторпоматематике #уравнения #разностьквадратов #модуль #подготовкакВПР #квадратноеуравнение