В классической задаче о трёх дверях (парадокс Монти Холла) смена первоначального выбора увеличивает вероятность выигрыша с 1/3 до 2/3. Это происходит потому, что ведущий, открывая пустую дверь, вносит новую информацию в систему. Ваш первый выбор с вероятностью 66% был ошибочным. Смена двери позволяет Вам «забрать» себе ту вероятность успеха, которая изначально принадлежала двум другим дверям. Интуитивное ощущение «шансов 50 на 50» является ложным, так как события открытия дверей зависимы.
Представьте, что Вы стоите на ярко освещенной сцене старого театра. Перед Вами три массивные дубовые двери. За одной из них - новенький сверкающий экипаж, за двумя другими - обыкновенные козы. Вы указываете на дверь номер один. Ведущий, знающий правду, не спешит. Он медленно отворяет дверь номер три. Там - коза. Зрители смеются. Теперь он смотрит Вам прямо в глаза и спрашивает: «Желаете ли Вы изменить выбор и занять место у двери номер два?»
Многие полагают, что это не имеет смысла. Коза ушла, остались две двери. Шансы равны? Пятьдесят на пятьдесят? Яков Исидорович Перельман, впрочем, любил такие моменты. Когда здравый смысл кричит одно, а арифметика шепчет совсем другое.
Остановитесь на полминуты. Не листайте. Подумайте честно: есть ли разница? Или это просто психологическая уловка?
Где прячется лишняя вероятность?
Секрет - в самом первом шаге. Когда перед Вами было три двери, шанс угадать сразу составлял ровно одну треть (1/3). А шанс промахнуться - две трети (2/3). Степенно. Торжественно. Примите этот факт.
Скорее всего (с вероятностью 66%), Вы ткнули пальцем в «козью» дверь. И вот здесь начинается магия ведущего. Он обязан открыть дверь с козой, но он не может открыть ту, что выбрали Вы. Значит, своим действием он «схлопывает» всю вероятность неудачи двух дверей в одну-единственную, оставшуюся.
Если Вы промахнулись вначале (а это случается два раза из трех), то за оставшейся дверью гарантированно находится приз. Перельман в своё время писал, что математика - это не гадание на кофейной гуще, а искусство учета информации. Изменив выбор, Вы переходите из группы «везунчиков» (33%) в группу «расчетливых» (66%).
Почему мозг сопротивляется правде?
Наш разум - орган консервативный. Он видит две закрытые двери и мгновенно рисует простую картину: два объекта, один приз. Значит, вероятность - половина. Честно говоря, это опасное упрощение. Мозг игнорирует историю процесса. Он забывает, что дверь номер три была открыта не случайно, а по воле ведущего.
Этот парадокс в 1990 году вызвал настоящий скандал в Америке. Тысячи профессоров математики писали гневные письма в журналы, доказывая, что менять дверь бессмысленно. И все они ошибались. Допущение было грубоватым, а расчет - неверным. Только компьютерное моделирование и миллионы испытаний заставили академиков признать поражение перед логикой Монти Холла.
«А вы знали?»: Испытание на голубях
Удивительно, но голуби решают эту задачу лучше людей. Птиц тренировали в похожих условиях: за одной из трех дверок была кормушка. После того как одну пустую дверь открывали, голуби очень быстро понимали - нужно всегда менять выбор. Их мозг, лишенный философских предубеждений, просто фиксировал: «Смена двери дает еду чаще». Мы же слишком полагаемся на свою «логику», которая в данном случае оказывается ложной.
Что далее
Мы перейдём от дверей к бесконечным рядам шкафчиков. Задача про сто узников и сто шкафчиков: как выжить всей группе, если шансы каждого по отдельности - ничтожны? Решают эту задачу один из ста.
Подпишитесь на канал «А вы знали?», чтобы Ваш ум не застаивался. А Вы бы сменили дверь или остались бы верны первому порыву? Напишите, проверим нашу психологическую стойкость.
Читайте также:
Канал «А вы знали?» - задачи, фокусы и наука. Каждый день - повод удивиться.