Почему атомы не разлетаются, а протоны в ядре не отталкиваются друг от друга в бесконечность? Ученые десятилетиями искали ответ и, кажется, приблизились к разгадке. Новая математика, эксперименты и миллион долларов от Математического института Клэя — все это сплелось в интригующий научный детектив. Кто уже почти решил проблему теории Янга-Миллса и почему четырехмерное пространство-время оказывается самым сложным противником?
В 1930-е годы физики заподозрили существование новой природной силы. Она должна быть сильнее электромагнетизма, который удерживает ядро от распада. В последующие десятилетия эксперименты по физике приоткрыли завесу тайны. Оказалось, протоны и нейтроны состоят из более мелких частиц — кварков. И что-то связывало эти кварки между собой.
В 1954 году физики Чэнь-Нин Янг и Роберт Миллс из Брукхейвенской национальной лаборатории в Аптоне, штат Нью-Йорк, попытались расширить математический аппарат электромагнетизма и квантовой механики для описания нового явления. Они записали новую систему уравнений. Эти уравнения предсказывали существование частицы — переносчика силы. Позже ее назовут глюоном. Предполагалось, что глюон, как и фотон (переносчик света), не имеет массы. По крайней мере, изначально.
Почти два десятилетия спустя эксперименты в Стэнфордском центре линейных ускорителей в Калифорнии начали раскалывать протоны. Физики ожидали увидеть кварки, «крепко связанные могучей силой». Вместо этого они вели себя почти свободно. «Большим сюрпризом стало то, что кварки вовсе не заперты внутри протона. Они двигались так, будто ни о чем не заботятся, — объясняет Дэвид Тонг из Кембриджского университета. — И все же они каким-то образом связаны внутри протона, где, как можно предположить, на них действуют очень сильные силы».
В 1973 году трое физиков — Франк Вильчек, Дэвид Гросс и независимо от них Дэвид Политцер — показали, что такое поведение точно соответствует уравнениям Янга-Миллса. На крошечных расстояниях внутри протона сильное взаимодействие ослабевает, позволяя кваркам колебаться. Но стоит чуть отдалиться — и происходит обратное. Попытка растащить кварки в стороны заставляет силу резко возрастать, как резинка, которую тянут, и она сопротивляется растяжению.
Однако эта сила почти не выходит за пределы ядра. За этой крошечной областью она полностью исчезает. Но тут возникает проблема. В квантовой физике короткодействующие силы обычно переносят массивные частицы, например W- и Z-бозоны, отвечающие за слабое ядерное взаимодействие. А теория Янга-Миллса была построена из безмассовых частиц. Получалось, что масса рождается буквально из ничего.
Масса из пустоты
Физики не просто предсказали этот парадокс — они его увидели. В 2024 году эксперименты на детекторе Beijing Spectrometer III в Китае представили самые убедительные на сегодня доказательства существования «глюоновых шаров» — частиц, целиком состоящих из глюонов, но обладающих массой. Хотя окончательного подтверждения пока нет, похожие выводы из экспериментов делают еще с 1970-х годов.
Откуда же берется эта масса? Многие слышали про бозон Хиггса, открытый в 2012 году в ЦЕРНе (Европейская организация по ядерным исследованиям) под Женевой. Считается, что он ответственен за массу у частиц. Однако механизм Хиггса объясняет менее двух процентов массы протонов и нейтронов. Остальное, как полагают ученые, возникает из неуемной энергии взаимодействия кварков и глюонов внутри атомов — поведения, которое описывает теория Янга-Миллса.
Но как именно это происходит — загадка. Несоответствие между безмассовыми ингредиентами уравнений и тяжелыми частицами на выходе получило название «массовая щель Янга-Миллса». Для многих физиков это не кризис. Теория отлично описывает поведение кварков. Но уверенность в теории — не то же самое, что доказательство того, что ее уравнения действительно непротиворечивы.
Настоящее доказательство потребовало бы безупречной логической цепочки, показывающей, как масса возникает из теории, построенной исключительно на безмассовых составляющих. В 2000 году Математический институт Клэя в Массачусетсе включил эту задачу в список семи проблем тысячелетия и назначил награду в один миллион долларов за ее решение. По сути, вызов носит математический, а не физический характер. Но его решение углубило бы понимание одного из самых странных свойств природы: почему материя вообще обладает массой.
Почему доказательство так трудно дается
Во-первых, уравнения Янга-Миллса неабелевы (некоммутативными). Простыми словами, порядок действий здесь имеет значение. Знакомый пример из геометрии: повернуть объект (скажем, картинку цилиндра) на девяносто градусов, а затем отразить слева направо — результат получится иным, чем если сначала отразить, а потом повернуть. В физике это свойство означает, что глюоны могут сильно взаимодействовать друг с другом, создавая своего рода хаотическую петлю обратной связи.
Каждый глюон изменяет поле, которое переносит сильное взаимодействие. Это, в свою очередь, меняет поведение других глюонов, которые снова перестраивают поле. Вместо гладкой линейной системы получается система с интенсивной самосвязью. Внутри ядра, где эти взаимодействия сильнее всего, поле глюона колеблется неистово. «На самых малых масштабах оно становится невероятно грубым и дико осциллирует», — говорит Аджай Чандра из Университета Пердью в Индиане.
Эта турбулентность делает уравнения почти неразрешимыми с помощью ручки и бумаги. Поэтому физики пошли другим путем. Вместо того чтобы считать пространство-время идеально гладким, они нарезают его на четырехмерную сетку — решетку — и поручают суперкомпьютерам приблизительно вычислять поведение глюонов и кварков на каждом крошечном участке. Суммируя огромное число возможных конфигураций поля, можно извлечь физические величины из хаоса.
С ростом вычислительных мощностей этот подход привел к расчетам, которые с впечатляющей точностью сошлись с реальными измерениями. «Нет никаких сомнений, что теория верна: она прекрасно согласуется с экспериментами, — утверждает Дэвид Тонг. — Теперь мы можем предсказать массу протона и нейтрона с нуля, просто выполняя численные расчёты».
Но в этом и кроется проблема. Приближения не равносильны доказательству — точному аналитическому демонстрации того, что массовая щель возникает из самих уравнений. Без такой строгости трудно понять, насколько можно доверять выводам теории Янга-Миллса и распространять их на другие области физики.
Чтобы получить ту самую строгость, которая даст право на миллион долларов от Института Клэя, нужно напрямую столкнуться с математическим хаосом. Двадцать лет эта задача оставалась за гранью возможного.
Как укротить хаос
Упрямые уравнения привлекают упрямых математиков. Один из самых настойчивых и изобретательных — Мартин Хайрер из Швейцарской высшей технической школы Лозанны. В 2014 году он получил Филдсовскую премию — высшую награду для математиков — за работу над классом уравнений, от которых большинство исследователей тихо отказались. Речь о стохастических дифференциальных уравнениях. Они описывают систему, которую бомбардирует случайность: финансовые рынки, неровный край колеблющегося пламени и, что особенно важно, бурлящие квантовые поля.
На бумаге уравнения, используемые для описания таких систем, часто уходят в бесконечности. Хайрер нашёл способ придать им смысл. Его прорыв заключался в создании так называемых регулярных структур — математического инструментария для работы с уравнениями, слишком грубыми для обычного анализа. Он показал, что даже дико нерегулярные системы можно разбить на вклады от разных масштабов длины, проанализировать каждый по отдельности, а затем снова собрать.
Представьте шторм. На самых малых масштабах — микроскопические порывы ветра. На более крупных — катящиеся валы. Ещё крупнее — широкие атмосферные течения, которые управляют всем процессом. Вместо попытки укротить всё сразу, метод Хайрера предлагает построить отдельное математическое описание на каждом уровне, а затем сложить описания обратно так, чтобы худшие локальные завихрения контролируемо погасили друг друга. Некоторые шутят, что идеи Хайрера настолько далеки от того, как думают большинство математиков, что он мог получить их только от инопланетных цивилизаций.
Инопланетного происхождения или нет, но люди начали работать с этими идеями. Несколько лет назад Хао Шэнь из Университета Висконсин-Мэдисон рассказал Хайреру об успехах, которых они вместе добились в атаке на квантовые теории поля, более простые, чем теория Янга-Миллса. Это заставило Хайрера задуматься: можно ли применить те же инструменты к вопросам о том, что склеивает реальность?
Оказалось, можно. В 2022 году Хайрер, Шэнь, Чандра и Илья Чевырев из Международной школы перспективных исследований в Триесте, Италия, представили результаты применения этих инструментов к неабелевым уравнениям Янга-Миллса в двух измерениях. Они показали, что под видимым хаосом эволюционирующее поле глюона можно строго определить, контролировать его флуктуации и точно описать поведение на крошечных масштабах. На техническом языке — уравнения можно «перенормировать» и решить, по крайней мере на некоторое время, в двух измерениях. «Мы имели дело с объектами, которые гораздо грубее, чем в анализе, но обладают некоторой вероятностной структурой, дающей нам шанс справиться с этой грубостью», — поясняет Чандра.
Два года спустя команда продвинула анализ в трёх измерениях. Это было немалым подвигом. Но до миллионного вызова ещё далеко: задача сформулирована для теории Янга-Миллса в четырёхмерном пространстве-времени. Здесь местность резко меняется.
«Когда переходишь к четырём измерениям, всё становится совсем иначе», — говорит Чандра. Он сравнивает решение трёхмерных уравнений Янга-Миллса с восхождением на почти гладкую гору, где время от времени встречаются шероховатости, за которые можно ухватиться. «Можно как бы заякориться на этих шероховатых объектах». Но для четырёх измерений таких зацепок нет: «Вы просто не оторвётесь от земли».
Хайрер соглашается. «Четырёхмерность действительно особенная для такого рода теорий, особенно для Янга-Миллса», — говорит он. Дело в том, что четырёхмерные уравнения Янга-Миллса масштабно-инвариантны. Это значит, они выглядят одинаково, независимо от того, насколько близко вы приближаетесь или удаляетесь. Метод Хайрера полагается на разделение поведения на разных масштабах и последующее аккуратное сшивание. Но если каждый масштаб ведёт себя идентично, эта стратегия теряет рычаги воздействия.
Тем не менее сам факт, что обладатель Филдсовской премии прицелился в массовую щель Янга-Миллса, вселяет новую надежду. «Это действительно меняет дело, — считает Чандра. — Когда сильнейшие люди в области работают над важнейшими проблемами, это говорит о здоровье области».
Хайрер осторожен в прогнозах о быстром получении миллионной награды. Но даже если осторожность оправдается, его работа и труды других учёных могут продвинуть решение других грозных математических задач.
Другой путь: квантовые корреляции
«Это кажется выполнимым», — говорит статистик Сурав Чаттерджи из Стэнфордского университета в Калифорнии. Он подходит к теории Янга-Миллса с другой стороны — через теорию вероятностей. Это не так странно, как может показаться. Квантовая теория по своей сути уже вероятностна. Уравнение Шрёдингера, например, не говорит точно, что произойдёт при измерении частицы. Оно даёт шансы разных исходов.
В 1960-х годах физики начали переформулировать квантовые теории поля в вероятностных терминах. Вместо того чтобы думать о частицах как о крошечных шариках, летящих в пространстве, эти теории описывают реальность как поле — нечто, существующее везде одновременно. «Как только вы строите стохастический объект, вероятностный объект, его можно преобразовать в квантовую теорию», — объясняет Чаттерджи.
Теория Янга-Миллса — именно такая теория. Возьмём температуру в комнате. В каждой точке пространства воздух имеет какую-то температуру. При достаточно сильном увеличении каждой точке можно приписать число. Квантовое поле работает похожим образом, за исключением того, что значение в каждой точке колеблется, подчиняясь вероятностным законам. И в отличие от показаний температуры, эти квантовые вероятности не независимы, а «скоррелированы». Если измерить поле в одной области, это измерение даст информацию о поле на небольшом расстоянии.
Температура тоже может быть коррелирована в грубом смысле — горячие области, скажем, находятся рядом с другими горячими областями, — но это зависит от конкретных условий системы. В квантовом поле корреляции более фундаментальны.
Сила этой связи — как быстро она затухает с расстоянием — кодирует физическую информацию о ядерном клее, например о массе. Если корреляции затухают медленно, соответствующий глюон безмассов; его влияние простирается далеко. Если корреляции затухают экспоненциально быстро, глюон массивен. «Идея в том, что скорость затухания подскажет массу», — говорит Чаттерджи. Иными словами, доказав, что квантовые связи глюонов затухают быстро, математики смогут доказать наличие у них массы.
Вместо того чтобы с самого начала иметь дело с гладким пространством-временем, Чаттерджи начинает так же, как многие физики: разбивает пространство-время на решётку. Замена непрерывной ткани пространства-времени на обширную, но конечную сетку точек и связей превращает теорию Янга-Миллса в гигантскую вероятностную модель. Математики могут строго анализировать такую модель, суммируя вклады всех маленьких кусочков решётки.
Ключевой вопрос: что происходит, когда решётка становится всё тоньше и тоньше? Стабилизируются ли суммы, а не уходят в бесконечность? И если они стабилизируются, то затухает ли сила квантовых корреляций быстро, подразумевая существование массы?
В статье, опубликованной в 2024 году, Чаттерджи показал: независимо от числа измерений, ответ на оба вопроса может быть «да». Иными словами, стартуя с решётки, которая становится всё более мелкой, можно получить нечто, напоминающее гладкое пространство-время, без потери массы. Это делает подход многообещающим для четырёхмерных решений, считает он.
Работа Чаттерджи пока не является полной физической теорией Янга-Миллса для кварков и глюонов. Его результат относится к близкому варианту, известному как теория Янга-Миллса-Хиггса, которая включает дополнительное поле Хиггса (поле, связанное с бозоном Хиггса) и математически более податлива. Тем не менее это значимо, говорит он. Это даёт надежду, что подобные вероятностные подходы стоит развивать. «Результат показывает: можно перейти к континуальному пределу и при этом сохранить массу».
Взгляд в будущее
Эти небольшие, постепенные успехи в применении теории вероятностей воодушевляют физика Майкла Дугласа из Гарвардского университета. В последние годы работа с вероятностными методами сделала многие аргументы проще и элегантнее, отмечает он. Хотя проблема Янга-Миллса остаётся сложной, она выглядит доступной для современной математики. «Предстоит открыть что-то новое, но это не загадочно. Ты понимаешь, что примерно нужно сделать», — говорит Дуглас.
Возможно, скоро мы наконец получим ответы на самые большие вопросы физики. Решение уравнений Янга-Миллса во всех измерениях пространства-времени раскроет истинное происхождение массы. Оно поставит теорию ядерного клея на прочный фундамент, позволив учёным успокоиться насчёт неудовлетворительных численных решений. Эти решения, хоть и полезны, до сих пор ощущались как досадное размахивание руками, уход от самых важных вопросов о том, что удерживает нашу Вселенную вместе.
Многочисленные подходы, которые математики перепробовали до сих пор, расчистили большую часть подлеска. С тех пор как загадка массы была впервые сформулирована, учёные разработали и проверили около тридцати методов, которые когда-нибудь могут проложить дорогу к полноценному доказательству. «У математиков сейчас довольно много информации для работы, и нет явно непреодолимых препятствий, — говорит Дуглас. — Возможно, нам нужен всего лишь метод номер тридцать один».
Две проблемы тысячелетия по цене одной (бэкграунд для самых любознательных)
Проблема Навье-Стокса — ещё одна из семи задач тысячелетия Математического института Клэя. Она касается уравнений, описывающих течение жидкостей: от воды в трубе до воздуха, закручивающегося в шторме.
Эти уравнения нелинейны. Движение поля жидкости воздействует само на себя: вихри порождают другие вихри, маленькие возмущения могут каскадом распространяться по масштабам. Математики умеют показывать, что движение жидкости остаётся гладким в течение коротких промежутков времени. Открытый вопрос: в трёх измерениях сохраняется ли это гладкое поведение всегда, или же оно может «взорваться», когда такие величины, как скорость жидкости, становятся бесконечными.
Эта головоломка перекликается с проблемой массовой щели Янга-Миллса — ещё одной системой, где поле взаимодействует само с собой. Оба набора уравнений должны справляться с чрезвычайно грубыми флуктуациями. По этой причине уравнения жидкости часто служат «игрушечной моделью» для идей, возникающих в теории Янга-Миллса. Прорыв в математике одной из этих проблем может вдохновить прогресс в другой.
Post Scriptum
Учёные больше не топчутся на месте. После двух десятилетий застоя физики и математики сошлись во мнении: время пришло. Эксперимент 2024 года в Пекине дал самые веские свидетельства существования массивных глюбольных шаров. Мартин Хайрер и его команда укротили уравнения Янга-Миллса в двух и трёх измерениях, создав инструментарий для борьбы с хаосом. Сурав Чаттерджи на вероятностном пути показал принципиальную возможность сохранить массу при переходе к континууму даже в четырёх измерениях.
Конечно, до окончательного доказательства и заветного миллиона долларов ещё далеко. Четырёхмерное пространство-время остаётся главным противником. Но теперь у математиков есть около тридцати опробованных методов, мощные вычислительные ресурсы и — что важнее — понимание, куда двигаться. Возможно, метод номер тридцать один станет ключом, который наконец откроет тайну, почему материя не рассыпается. И тогда мы узнаем, как из ничего рождается масса, как хаос превращается в порядок и что на самом деле склеивает реальность.
-----
Еще больше интересных постов в нашем Telegram.
Заходите на наш сайт, там мы публикуем новости и лонгриды на научные темы. Следите за новостями из мира науки и технологий на странице издания в Google Новости