Традиционно считается, что математика возникла из таких практических нужд, как счёт, измерение земли, строительство. С этим сложно поспорить. Но очень быстро математика оторвалась от своих прикладных корней. Геометрия Евклида, бывшая тысячелетия образцом строгости, описывает пространство, которого нет в природе. Евклидовы прямые бесконечно тонки, плоскости идеально ровны, а параллельные линии действительно никогда не пересекаются. В физическом мире таких объектов не существует. Тем не менее, двухтысячелетняя геометрия Евклида оказалась необычайно полезна для описания реальности на масштабах, доступных человеку. Она полезна, но не истинна в последней инстанции, ибо, как узнали мы в XX веке, Вселенная устроена по законам неевклидовой геометрии. Эйнштейну понадобился язык, который математики создали задолго до него, просто из любопытства, проверяя границы своей собственной логики.
Лобачевский, Бойяи и Гаусс, независимо друг от друга, создали неевклидову геометрию, отказавшись от пятого постулата. Их современники недоумевали: какая польза от геометрии, где через точку можно провести множество параллельных прямых? Природа, казалось бы, не давала повода сомневаться в Евклиде. Прошло сто лет — и оказалось, что общая теория относительности говорит именно на этом языке. Математика не подстраивалась под реальность; реальность, спустя время, подогнала себя под уже существующие математические конструкции. Свобода математического воображения обернулась пророческой силой.
Ещё удивительнее пример с комплексными числами. В XVI веке итальянские математики, решая кубические уравнения, столкнулись с необходимостью извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Это казалось абсурдом, «мнимостью», формальным приёмом, не имеющим реального смысла. Но математики не отбросили эти странные объекты, а продолжили с ними работать, формально следуя правилам алгебры. Кардано, Бомбелли, а затем Эйлер и Гаусс превратили «мнимости» в полноправную область математики. Комплексные числа оказались идеальным языком для квантовой механики, гидродинамики, электротехники.
Платон учил, что математические объекты существуют в особом мире идей, вечном и неизменном. Математик не творит числа и геометрические фигуры, а открывает последние. Современная же математика, особенно с развитием аксиоматического метода, показала, что это не так. Мы выбираем аксиомы — и строим мир, который из этих аксиом вытекает. Никто не запрещает нам выбрать другую систему аксиом и построить другой математический мир. Неевклидова геометрия, нестандартный анализ Робинсона с его бесконечно малыми величинами, альтернативные теории множеств — всё это не открытия в платоновском смысле, а изобретения, плоды свободного творчества человеческого ума.
Почему математика так хорошо описывает мир? Самый простой ответ заключается в том, что мы отбираем те математические концепции, которые оказываются полезными для выживания, о бесполезных же мы забываем. Этот ответ, однако, не объясняет, почему непостижимо эффективными оказываются именно те конструкции, которые создавались как чистые игры ума, без оглядки на практику. Физик Юджин Вигнер назвал это «непостижимой эффективностью математики в естественных науках». Похоже, свобода математика парадоксальным образом резонирует со свободой природы, которая тоже не обязана подчиняться нашим ожиданиям, но в итоге оказывается описанной нашими абстракциями.
Эмпирический факт не заставит математика отказаться от теоремы, если её доказательство безупречно. Не существует эксперимента, который бы доказал, что дважды два не четыре. Но эта свобода от реальности оборачивается её властью над реальностью. Математик своего рода архитектор, создающий бесконечное число планов; физик же является своеобразным строителем, который обнаруживает, что один из этих планов в точности совпадает с его участком. В этом танце игры и строгости заключается величие математики. И, возможно, самый глубокий урок: человеческое воображение, казалось бы, не связанное ничем, способно прозревать структуры, по которым на самом деле устроен мир.
На этом всё. Спасибо!
***
Меня зовут Анна, я репетитор по математике с 20-летним стажем. Помогаю с подготовкой к ЕГЭ, ОГЭ, помогаю с прохождением ДВИ.
Занимаюсь также и со взрослыми учениками — если хотите освежить в памяти математические знания, если математика вам нужна для работы/учёбы, или если вы хотите заняться математикой для себя, то обращайтесь!