В этой статье разбираем задание 8 из ВПР по математике для 7 класса. Тема — геометрия: равнобедренный треугольник, высота и углы. Вы узнаете, как найти неизвестный угол двумя способами: через свойство внешнего угла и через сумму углов треугольника. В конце — ответ и шпаргалка для запоминания.
Условие
В треугольнике ABC стороны AB = BC, отрезок AH — высота. Угол BCA = 35°. Найдите угол BAH. Ответ дайте в градусах.
Теория (что нужно знать перед решением)
- Равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором две стороны равны. Равные стороны называются боковыми, третья сторона — основанием.
- Свойство равнобедренного треугольника: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
- Сумма углов любого треугольника равна 180°.
- Смежные углы — это углы, у которых одна сторона общая, а две другие образуют прямую. Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180°.
- Внешний угол треугольника — это угол, смежный с внутренним углом треугольника. Свойство внешнего угла: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
- Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону.
- Свойство прямоугольного треугольника: сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.
Пошаговое решение
1 способ — через свойство внешнего угла треугольника
Шаг 1. Определяем вид треугольника
По условию: AB = BC. Значит, треугольник ABC — равнобедренный.
В нашей задаче AB = BC — это боковые стороны. Значит, AC — основание.
По свойству равнобедренного треугольника: углы при основании равны. Углы при основании — это ∠BAC и ∠BCA.
∠BCA = 35° (дано). Следовательно, ∠BAC = 35°.
Шаг 2. Находим угол ABH через свойство внешнего угла
Рассмотрим треугольник ABC. Угол ABH — это внешний угол треугольника ABC при вершине B (смежный с внутренним углом ABC).
По свойству внешнего угла: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Внутренние углы, не смежные с внешним углом ABH, — это ∠BAC и ∠BCA.
∠ABH = ∠BAC + ∠BCA = 35° + 35° = 70°
Обратите внимание: нам даже не пришлось находить тупой угол ABC. Свойство внешнего угла сработало быстрее.
Шаг 3. Разбираемся с высотой AH
AH — высота. Значит, AH ⟂ BC. То есть в треугольнике ABH угол ∠AHB = 90°.
Шаг 4. Находим ∠BAH
Рассмотрим треугольник ABH — он прямоугольный.
По свойству прямоугольного треугольника (сумма острых углов равна 90°):
∠BAH + ∠ABH = 90°
∠BAH = 90° − ∠ABH = 90° − 70° = 20°
Ответ: 20°
2 способ — через нахождение угла ABC
Шаг 1. Определяем вид треугольника (тот же, что в 1 способе)
∠BAC = 35°
Шаг 2. Находим угол ABC по теореме о сумме углов треугольника
Сумма углов треугольника равна 180°
∠ABC = 180° − (∠BAC + ∠BCA) = 180° − (35° + 35°) = 110°
Шаг 3. Находим угол ABH как смежный с углом ABC
Углы ABC и ABH — смежные (у них общая сторона AB, а BC и BH лежат на одной прямой). По свойству смежных углов их сумма равна 180°.
∠ABH = 180° − ∠ABC = 180° − 110° = 70°
Шаг 4. Учитываем высоту AH (та же, что в 1 способе)
∠AHB = 90°
Шаг 5. Находим ∠BAH
∠BAH = 90° − ∠ABH = 90° − 70° = 20°
Ответ: 20°
3 способ — через прямоугольный треугольник AHC
Шаг 1. Находим углы при основании равнобедренного треугольника
Треугольник ABC равнобедренный, потому что AB = BC. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Основание здесь AC, значит, углы при нём — это ∠BAC и ∠BCA. По условию ∠BCA = 35°, поэтому ∠BAC = 35°.
Шаг 2. Рассматриваем прямоугольный треугольник AHC
AH — высота, значит, AH перпендикулярно BC. Точка H лежит на продолжении BC, поэтому треугольник AHC прямоугольный с прямым углом AHC. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.
Запишем: ∠HAC + ∠ACH = 90°.
Шаг 3. Выражаем нужные углы
Угол HAC состоит из двух углов: ∠BAH и ∠BAC. То есть ∠HAC = ∠BAH + ∠BAC. ∠ACH = ∠BCA = 35° (точка H лежит на продолжении CB за точку B, поэтому лучи CB и CH совпадают).
Шаг 4. Подставляем и находим ∠BAH
Подставим всё в формулу из шага 2:
(∠BAH + ∠BAC) + ∠ACH = 90°
∠BAH + 35° + 35° = 90°
∠BAH + 70° = 90°
∠BAH = 90° − 70° = 20°.
Ответ: 20°.
Что запомнить (шпаргалка)
▪ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
▪ Сумма углов любого треугольника равна 180°.
▪ Смежные углы в сумме дают 180°.
▪ Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
▪ Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.
Если запомнить эти свойства, задача решается в два шага.
Какой способ лучше?
Первый способ короче — он использует свойство внешнего угла треугольника и позволяет не находить тупой угол ABC.
Второй способ — традиционный, он может быть понятнее тем, кто не до конца усвоил тему внешних углов.
Третий способ — наглядный, он опирается только на прямоугольный треугольник и сумму острых углов, без внешнего угла.
Выберите тот, который вам ближе. Все три ведут к правильному ответу.
Подпишитесь на канал, чтобы не пропустить разборы других заданий ВПР и ОГЭ.