Схема по титульной картинке обсуждалась на форумах, никакие цифровые данные, результаты проверки, на реальной схеме или симуляторе, как и аналитические выводы, не приводились. Было лишь сочтено, что посчитать можно, но сам процесс ручного счета трудоемок. Выходное напряжение схемы на выводе 3 относительно общего провода. Напряжение генератора последовательно 3 раза делится RC цепью, на каждое последующее деление напряжение снимается с резистора предыдущей части схемы. Выходное напряжение - это сумма напряжений на 3 конденсаторах, с учетом модулей и сдвига фаз.
Остается сделать все самому, исключительно из природного любопытства. Вначале все было просчитано традиционным методом, как последовательное и параллельное соединение реактивных сопротивлений.
Результаты таковы:
Напряжение приведены по отношению к напряжению генератора переменного напряжения. ω - это круговая частота в единицах, обратных постоянной времени элементов цепи 1/RC. Ниже вычисленные аналитически напряжения на каждом из 3 конденсаторов и на выходе схемы, комплексные значения в алгебраической форме.
Ниже графики действующих напряжений на конденсаторах и выходе схемы в зависимости от круговой частоты ω в единицах 1/RC.
Назвать резонансной зависимость на выходе не представляется возможной - она резко несимметрична, слева коэффициент передачи не спадает до 0,707 (минус 3 дБ) от максимума, тем самым нельзя и оценить добротность квазирезонансной схемы.
Модуль этих напряжений (т.е. действующие значения напряжений на конденсаторах и выходе схемы:
Сдвиг фаз напряжения на конденсаторах определяется выражением аргумента комплексного напряжения:
ϕ = arctg(X/R), где X - реактивное сопротивление (мнимая часть), R - активное сопротивление (действительная часть).
Ниже график сдвига фаз на конденсаторах и выходе схемы относительно напряжения генератора.
Давайте разберем "на пальцах" графики соотношений фаз. Начнем с постоянного тока на входе (ω=0). Можно считать, что конденсаторы отсутствуют или в обрыве, точки 1, 2 и 3 по схеме будут с одинаковым потенциалом относительно общего провода, соответственно напряжение на выходе схемы (точка 3 относительно земли) будет равно напряжению на входе, а напряжения 1-2, 2-3 будут равны 0.
Поскольку напряжение на выходе (точка 3) и точке 1 повторяют напряжение на входе, сдвиг фаз отсутствует, что фиксируется графиком. Но при небольшой, близкой к 0 частоте, через конденсатор С1 протекает небольшой ток с отставанием по фазе от напряжения генератора на 90°, и на резисторе R1 напряжение (пока еще очень маленькое) опережает напряжение генератора на 90°.
А дальше аналогично - для части схемы выше R1 напряжение на R1 является входным напряжением, и напряжение на конденсаторе С2 опережает напряжение генератора также на 90°. Соответственно напряжение на конденсаторе С3 опережает напряжение генератора уже на 180°.
Рассмотрим другой крайний случай очень высокой частоты генератора. Конденсаторы можно считать закороченными (их реактивное сопротивление близко к 0). В этом случае потенциал точки 1 близок к 0, и напряжение на R1 повторяет напряжение генератора, тем самым напряжение на С1 отстает от напряжения генератора на 90°. Рассуждая аналогично, сказанное справедливо и для напряжений на С2 и С3.
А между 2 крайностями сдвиг фаз (в градусах) рассчитывается по формуле арктангенса.
Всегда забавила фраза, что зависимое напряжение (или ток) в какой-то схеме опережает первичное на столько-то градусов. Это прямо-таки Назад в будущее (или Вперед в прошлое?) с доктором Брауном и Марти МакФлаем. Хотя по сути опережение на 90° всего-лишь отставание на 270°, и т.п. Принцип причинности не нарушается.
Да и в статье приведены результаты для установившегося режима. Для приведенной схемы время установления можно считать примерно как 9-15 постоянных времени RC.
Напряжение на выходе схемы не равно сумме действующих напряжений на 3 конденсаторах, поскольку напряжения складываются векторно, с учетом сдвига фаз напряжений на конденсаторах относительно напряжения генератора.
Подтвердить сказанное можно нижеследующим графиком, где наряду с фактическим выходным напряжением приведена сумма действующих значений напряжения на конденсаторах С1, С2 и С3.
Из графика следует, что сумма напряжений всегда выше напряжения на выходе, достаточно близко приближаясь к нему на малых частотах (примерно до частоты 0,01, поскольку напряжение на выходе определяется только напряжением на конденсаторе С1) и высоких частотах (примерно на частотах выше 3, где из графика фаз следует, что фазы всех 3 составляющих отличаются незначительно).
Ниже для пояснения сказанного приведена векторная диаграмма напряжений генератора (входного), на конденсаторах и резисторах схемы и выходного напряжения на частоте квазирезонанса ω=1,28.
Диаграмма наглядно свидетельствует, что действующее значение напряжения на выходе схемы на частоте квазирезонанса превышает напряжение на входе на 11% при отставании по фазе на 10°. Напряжения на конденсаторах С1, С2 и С3 последовательно уменьшаются по величине по мере отстояния звена от входа схемы.
Интересно то, что угол между векторами С3 и R3 составляет ровно 90°, как и положено в последовательной RC-цепи. А вот углы между векторами С2-R2, С1-R1 все более приближаются к развернутому углу по мере приближения цепи ко входу схемы - последовательно с конденсатороми С2, С1 оказываются включенными уже не чисто резистивные цепи, а смешанные, с емкостной компонентой.
Схема смакетирована, результаты расчета проверены измерением.
Чтобы избежать испытания схемы на частотах за пределами диапазона частот звукового генератора, а также ввиду физической невозможности реализации схемы с конденсаторами емкостью 1 Ф (отказавшись от ионисторов), схема смакетирована с резисторами R1=R2=R3=20 кОм класса точности 10% и конденсаторами С1=С2=С3=0,05 мкФ класса точности 10%. Постоянная времени RC составляет 0,001 с, тем самым для масштабирования и сравнения результатов круговую частоту по теоретическим графикам 1,28 рад/с следует разделить на 2π и умножить на 1000, что дает частоту квазирезонанса 203,7 Гц. В пределах допуска деталей и точности измерений расхождений с расчетами не обнаружено.
Ниже скан файла симулятора, на примере при напряжении частотой квазирезонанса 203,7 Гц амплитудой 1 В (действующее значение 0,707 В) на входе выходное пиковое напряжение 1,11 В (с превышением входного на 11%).
В заключение: нам не известно практическое применение проанализированной выше схемы. Но если снимать выходное напряжение не между общим проводом и точкой 3, а с резистора R3, схему можно рассматривать как 3-звенный фильтр высокой частоты (ФВЧ). На частоте квазирезонанса коэффициент передачи ФВЧ составляет 0,213, что наглядно фиксируется векторной диаграммой напряжений выше.