и снова про интегралы и народное хозяйство.
Сейчас будет рассказ про то, как искать центр масс
Вернее, расскасс.
А местами это даже будет раскрасс.
Полный котов и других приукрасс.
Итак, в чём цель и смысл?
У нас есть фигурка. Плоская.
Цель: повесить фигурку ровненько. Причём можно найти точку, чтобы повесить ровненько по разному. Можно просто как "ёлку-вонючку", а можно как парящий "ковёр-самолёт".
В случае "ёлки" мы ищем равновесие только по одному направлению, а в случае "ковра" - по двум.
Задача: надо найти ту самую точку, к которой надо прикрепить петельку, на которую надо повесть фигурку, чтобы она висела ровненько.
Эта точка - центр масс.
Простой и сложный случаи
Простой частный случай, если фигурка однородная. Это значит, что плотность распределения массы постоянна. Страшно? Да ладно. Это просто означает, что один край не может быть тяжелее, чем другой. Частный случай проще всего реализовать - просто возьмите толстый картон, он более-менее однородный.
Решение: перерисовываем фигурку, вводим систему координат, описываем границы и вычисляем координаты по формулам с интегралами, в два этажа.
Идея происходит из соображений про рычаг - чем дальше точка от центра, тем больше она "весит". Коротко, о моём восприятии физики =)
Суммируем, т.е. интегрируем все эти массы на расстояние по принципу удалённости и делим на площадь фигурки, которая тоже считается через интеграл, больно, вот у нас и выходит два этажа.
Давайте сразу примерчик?
Вычислим центр масс кусочка подграфика параболы. Зелёненький такой.
1. Сначала площадь.
2. Затем интеграл для координаты центра масс по х (и сразу делим на площадь)
3. Затем интеграл для координаты центра масс по y (и сразу делим на площадь)
4. Совмещаем, присматриваемся, критически оцениваем похожесть на правду.
Запоминаем координаты ЦМ этого "параболовидного", дальше пригодится.
Сложный общий случай хотя с интегралами всё и так не просто =)
Если фигурка неоднородная. Это значит, что плотность распределения массы какая-то есть и один край вполне даже может быть тяжелее, чем другой.
Формула внешне не особо усложняется, но в процессе может как больно ударить, так и облегчить страдания. От формы фигурки тоже многое зависит.
Может оказаться, что страшные уравнения границ ка-а-ак компенсируют ужасное уравнение плотности и схлопнутся в какую-нибудь беззлобную конструкцию.
Частенько можно обойтись и без интегралов вообще
Только никому не рассказывай, да?
Например, если фигурка симметричная, то центр масс - на оси симметрии.
А у треугольника центр масс науке известен - это точка пересечения медиан.
А может по одной координате - всё очевидно, а по второй - придётся интегралами добиваться правды. Как у полукруга.
Есть хитрость для комбо из простых фигурок
Например, произвольный четырехугольник. Это же прямоугольник+треугольники. Ну или +/-.
Можно найти центр масс у каждого осмысленного кусочка и посчитать среднее. Но не просто среднее, а средневзвешенное. Вот.
Средневзвешенное - это когда считаем сумму с учётом вклада каждого слагаемого.
Примерчик? Примерчик! Даже парочка
Смотрите, у нас уже есть координаты центра масс для кусочка параболы. У квадрата всё понято - центр масс посерединке. Давайте сгруппируем с квадрат и "параболовидное" и найдём баланс по х.
Заодно и на "среднее взвешенное" пристально посмотрим.
Важные наблюдения
- Центр масс может выйти за пределы фигуры, если она не является выпуклой. Это было в одном из примеров.
- Для вычисления центра масс через среднее взвешенное, можно и добавлять и вычитать составные кусочки. Это физика.
Самый последний примерчик
Домашнее задание
Найди центр масс и напиши ответ!