В этом разборе покажу два способа решения задачи №15 из ОГЭ по математике. Первый — короткий, через признак прямоугольного треугольника. Второй — наглядный, через равнобедренные треугольники и смежные углы.
Условие. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла A, если ∠C = 51° и BM = AM = MC.
🔹 Способ 1. Признак прямоугольного треугольника
Что нужно знать:
Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
Как применить:
- Медиана BM проведена к стороне AC. Точка M — середина AC, значит:
AM = MC = AC / 2. - По условию BM = AM = MC.
Следовательно, BM = AC / 2. - Это признак прямоугольного треугольника.
Значит, ∠B = 90° (сторона AC — гипотенуза). - В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°:
∠A + ∠C = 90°
∠A = 90° − ∠C = 90° − 51° = 39°.
✅ Ответ: ∠A = 39°.
🔹 Способ 2. Через равнобедренные треугольники и смежные углы
- Рассмотрим треугольник BCM.
BM = MC (по условию) → треугольник BCM равнобедренный.
В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, а основание — третья сторона. Углы при основании равны.
Здесь основание — сторона BC.
Значит, ∠BCM = ∠CBM.
∠BCM = ∠C = 51°.
Следовательно, ∠CBM = 51°. - Найдём угол BMC:
Сумма углов в треугольнике BCM:
∠BCM + ∠CBM + ∠BMC = 180°
51° + 51° + ∠BMC = 180°
102° + ∠BMC = 180°
∠BMC = 180° − 102° = 78°. - Углы BMC и BMA — смежные. Сумма смежных углов равна 180°.
Значит:
∠BMA = 180° − ∠BMC = 180° − 78° = 102°. - Рассмотрим треугольник ABM.
BM = AM (по условию) → треугольник ABM равнобедренный.
Здесь основание — сторона AB.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:
∠BAM = ∠ABM.
В треугольнике ABM известен угол при вершине M: ∠BMA = 102°.
Сумма углов в треугольнике ABM:
∠BAM + ∠ABM + ∠BMA = 180°
∠BAM = ∠ABM = (180° − ∠BMA) : 2 = (180° − 102°) : 2 = 78° : 2 = 39°. - ∠BAM — это и есть угол A в треугольнике ABC.
Значит, ∠A = 39°.
✅ Ответ: ∠A = 39°.
🔹 Вопрос для самопроверки
А если бы ∠C = 40°, а условие BM = AM = MC оставалось бы верным, какой был бы ∠A? Попробуй решить самостоятельно любым из способов!
Подписывайтесь, чтобы не пропускать новые разборы заданий ОГЭ!
#ОГЭ2026 #ОГЭ #БанкФИПИ #Новоезадание #Математика #Задание15 #Геометрия #Медиана #ПрямоугольныйТреугольник #РавнобедренныйТреугольник #Признаки #РазборЗадач #ПодготовкаКОГЭ