Аксиома – это такое положение, которое принимается без доказательств. В связи с этим часто возникают проблемы в диалогах на совершенно разные темы – некоторые оппоненты считают, что достаточно что-то объявить аксиомой, чтобы иметь право на основании этого требовать принимать без доказательств всё, что они под этим видом проталкивают. Поэтому следует уточнить, что такое аксиома, и в каких случаях что-то надо принимать без доказательств.
Почему аксиома принимается без доказательств? Самое разумное объяснение в том, что если всё надо доказывать, то и положения, посредством которых что-то доказывается, тоже надо доказывать, и тогда так можно продолжать до бесконечности, и тогда ничего доказать будет нельзя. Поэтому участвующие в обсуждении вопроса уславливаются между собой принять какие-то положения без доказательств, и на основании этого уже доказывать всё остальное.
Важный момент: без доказательств что-то принимается на основании того, что все принимающие согласны это так принять. Если кто-то не согласен, ему надо доказывать. Нельзя просто взять сказать: «А нас не волнует – мы все приняли без доказательств, значит, и ты должен!» Если кто-то что-то должен принимать без доказательств, значит, доказывай, что должен.
Доказать аксиому может не получиться. Но и опровергнуть тоже. И тогда на основании этого можно предложить принять её без доказательств. И если оппонент откажется, тогда он окажется вне обсуждения всех тех вопросов, которые обсуждаются в кругу тех, кто приняли (это будет одно из оснований принять). А доказать аксиому может не получиться потому, что все положения, которые используются при доказательстве, при более внимательном изучении оказываются тоже требующими доказательств. И так может продолжаться очень долго (может, и бесконечно), и математики будут приводить доказательства, и им будет казаться, что оные достаточные, но потом будет находиться кто-то, кто обнаружит недостаточность. И снова предмет будет перетрясаться, и так или иначе будет пересматриваться вопрос, что вообще можно считать доказательствами. Но сам тот факт, что учёные пытаются найти доказательства, говорит о том, что их не устраивает бездоказательное принятие аксиомы. И если они всё же её принимают, то скорее от безвыходности, чем от того, что есть некое «священное правило», предписывающее принимать аксиомы без доказательств.
Например, есть аксиома, что все прямые углы равны между собой. А как это доказать? Измерить все прямые углы известных фигур, и сравнить их между собой? Ну так это не доказывает, что не может быть других фигур, которые ещё не известны и не измерены, в которых прямые углы могут быть другими. Может, просто установить, что прямой угол – это тот, который под девяносто градусов, и тогда все прямые углы получаются автоматически равны между собой, потому что девяносто равно девяносто? Звучит вроде чётко, но, если присмотреться, остаётся вопрос: а на основании чего заключается, что прямой угол всегда девяносто? Проверки всех известных фигур? Ну а как быть с углами фигур, которые ещё неизвестны и не проверены? В итоге, что-то всегда ускользает, и вот так иной раз математик перемеривает столько фигур, сколько пороху хватит, прикидывает так, что намерил, в общем, достаточно, чешет затылок, приходит к выводу, что он не может представить себе фигур, при которых прямой угол мог бы быть не девяносто, и говорит: «Ну ладно, примем тогда пока так, а в случае чего потом задним числом пересмотрим…»
Когда математик принимает аксиому, что все прямые углы равны, он может уже как-то доказывать другому математику (который тоже принял), что в квадрате четыре прямых угла, а не три, и не пять. Ну а тот, кто не принял, останется без возможностей строить доказательства, и извлекать из этого всю ту пользу, которую из этого можно извлечь.
Короче, аксиома принимается без доказательств на основании того, что доказательства найти не получается, но принять надо (потому, что без этого дальнейшие вопросы продуктивно обсуждать не получится), и при этом опровергнуть её тоже не получается. И только на основании этого аксиома принимается без доказательств. И это подразумевает условие, что действует это положение до тех пор, пока не будут найдены доказательства или опровержения. А в случае, если последнее всё же случится, то кое-какие положения должны быть пересмотрены.
К сожалению, есть люди, которые это понимают совершенно иначе. Для них просто есть просто какое-то положение, которое им понятно само собой. И им не понятно, как это может быть иначе, чем они это видят. И на основании этого они считают, что имеют право называть его аксиомой. Чаще всего это бывают убеждения, которые они доказать не могут. И не потому, что они аксиоматичны, а потому, что они необоснованны и противоречивы. Но только их адепты об этом не знают (ибо никогда не проверяют), и прут с ними, и требуют принимать их без проверки.
Вот не может кто-то, например, представить, чтобы этот мир мог существовать без тех богов, в которых он верит. А доказать не может. Но при этом всё, о чём он молится, сбывается, а если не сбывается, то этому находится объяснение. И вот непонятно ему, как может быть иначе, кроме как не так, чтобы за этим стояли именно такие боги, каких он представляет. А кто-то, наоборот, верит, что построит светлое будущее безо всяких богов. И тоже не может доказать, что построит, но верит, что построит. И не может представить себе, чтобы оно не могло быть построено. Потому, что это так расписано в теории, которую он учил, что ему просто непредставимы причины, которые могут этому помешать. И этого они считают достаточным для того, чтобы стучать кулаком по столу, и кричать «Это аксиома!» И требовать сжечь на костре (или расстрелять) того, кто не хочет принимать это без доказательств.
Постулируют «Наши боги истинны, а ваши боги ложны – это аксиома!», или «Наше учение верно, потому что это аксиома!», и удивляются так искренне: «А почему ты не хочешь это принимать?» Вот ты прими их «аксиому», и тогда, опираясь на это, они будут тебе доказывать, что правильно говорить, а что нет. А без этого доказать не получается. Поэтому тебе просто говорят. «Если ты не понимаешь, что аксиомы принимаются без доказательств, то говорить с тобой не о чем!» И на этом возможности диалога исчерпываются.