В этой статье на примере задачи из ЕГЭ по математике разберемся в классической ловушке иррационального уравнения.
Впервые человечество столкнулось с решением иррациональных уравнений (уравнений, где переменная содержится под знаком корня) не в виде абстрактных алгебраических задач, а в ходе решения сугубо практических геометрических и строительных задач. Самые ранние свидетельства относятся к эпохе Древнего Вавилона (около 1800–1600 годов до н. э.). На глиняных табличках, таких как знаменитая YBC 7289, вавилоняне не только фиксировали значение квадратного корня из двух с очень хорошей точностью √2 ~ 1.41421296, но и решали задачи, где требовалось найти сторону квадрата по его диагонали или сторону прямоугольника по заданной площади и разности сторон. По сути, решая систему вида x - y = a и x ⋅ y = b, жители Вавилона неизбежно приходили к уравнению, которое содержало квадратный корень из суммы квадратов. Но они умели извлекать его, хоть и не пользовались современными символами радикала «√».
Хотите узнать как? Об этом я расскажу в своём telegram-канале здесь.
В античной Греции решение иррациональных уравнений было тесно связано с проблемой удвоения куба (делосская задача). Согласно легенде, жители острова Делос обратились к оракулу, чтобы избавиться от чумы, и получили указание увеличить объем жертвенного алтаря кубической формы ровно в два раза. Это привело к задаче построения ребра нового куба, которое должно было составлять 2¹ᐟ³ от исходного. Хотя греки решали эту задачу геометрически (с помощью конических сечений, открытых Менехмом), по своей сути это было решение простейшего иррационального уравнения x³ = 2a³.
Позже, в трактатах Герона Александрийского (I век н. э.) и Диофанта, появляются задачи, где иррациональность возникает при вычислении диагоналей, высот в неравнобедренных треугольниках и элементов вписанных фигур. Их подход был сугубо вычислительным: они искали приближенные значения корней, необходимые для практических нужд — от землемерия до строительства акведуков, поскольку точное символическое решение иррациональных уравнений сформировалось лишь в эпоху Возрождения с развитием алгебраической символики.
📖 А теперь после математической истории окунемся в современные проблемы школьной математики...
Задача
а) Решите уравнение: √(x + 4√(x - 4)) + √(x - 4√(x - 4)) = 4
б) Найдите решения уравнения, принадлежащие отрезку [2√3+1; 10].
Решение:
И вот тут открывается интересный момент: мы можем увидеть удобную замену переменных, которая немного упростит наше решение тем, что мы точно не потеряем ответ.
Или... мы можем пойти более прямолинейным путём, но вот именно тогда мы можем пропустить кое-что важное.
1 способ
Рассмотрим прямые преобразования без замены переменной.
Для начала найдем область допустимых значений:
Видим, что все корни не нужно рассматривать, важна определенность существования (в поле действительных чисел) самого вложенного корня.
Если возвести обе части в квадрат, то в удвоенном произведении можно будет разглядеть разность квадратов.
И вот тут можно пропустить новое ограничение для x. Может показаться, что решением уравнения является неравенство-луч, а на самом деле ответом будет неравенство-промежуток.
И пункт б) будет пересечением двух неравенств:
Для сравнения чисел можно обойтись и без калькулятора.
2 способ - разглядеть замену переменных
Это красивый и интересный пример того, когда решением уравнения является неравенство, потому что по факту уравнение скрывает под собой тождество. Данное задание является довольно шаблонным, поэтому способ его решение стоит запомнить каждому поступающему в ВУЗ ученику.
Понравилась статья? Дайте обратную связь в комментариях. Напишите ваше мнение, идеи, мысли 😉
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в telegram