Задача. Маша загадала четырёхзначное число. Из загаданного числа она вычла сумму его цифр, у полученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 543. Какую цифру зачеркнула Маша?
Разберём решение подробно, шаг за шагом.
1. Обозначим задуманное число
Пусть задуманное число состоит из цифр a, b, c, d:
- a — цифра тысяч,
- b — цифра сотен,
- c — цифра десятков,
- d — цифра единиц.
Пример: число 3725, тогда a = 3, b = 7, c = 2, d = 5.
2. Запишем число через цифры
Любое четырёхзначное число можно записать так:
1000·a + 100·b + 10·c + d
Потому что, например, 3725 = 1000·3 + 100·7 + 10·2 + 5.
3. Находим разность числа и суммы его цифр
Сначала находим сумму цифр: a + b + c + d.
Затем вычитаем эту сумму из числа:
(1000·a + 100·b + 10·c + d) − (a + b + c + d)
4. Раскрываем скобки
Правило (словами):
Если перед скобками стоит знак «минус», то скобки и этот знак «минус» можно убрать, а знаки перед слагаемыми внутри скобок нужно изменить на противоположные.
В нашей задаче перед скобкой (a + b + c + d) стоит минус. Убираем скобки и минус, а знаки внутри меняем:
- +a становится −a
- +b становится −b
- +c становится −c
- +d становится −d
Получаем:
(1000·a + 100·b + 10·c + d) − (a + b + c + d) = 1000·a + 100·b + 10·c + d − a − b − c − d
5. Приводим подобные слагаемые
Что такое подобные слагаемые?
Это слагаемые с одинаковой буквенной частью. Например, 5a и 3a — подобные. 10c и c — подобные.
Запишем выражение, сгруппировав похожие:
(1000·a − a) + (100·b − b) + (10·c − c) + (d − d)
Теперь считаем каждую скобку:
- 1000·a − a = 999·a
- 100·b − b = 99·b
- 10·c − c = 9·c
- d − d = 0
Итого получаем: 999·a + 99·b + 9·c
6. Выносим общий множитель за скобку
999·a + 99·b + 9·c = 9·(111·a + 11·b + c)
Значит, это число всегда делится на 9. Почему? Потому что 9 умножается на целое число, а если число умножить на 9, оно делится на 9.
Важное правило, которое надо запомнить:
Если из числа вычесть сумму его цифр, результат всегда кратен 9 (делится на 9).
7. Восстанавливаем цифры до зачёркивания
После вычитания у Маши получилось некоторое число.
Это число делится на 9.
Потом Маша зачеркнула в этом числе одну цифру — осталось число 543.
Значит, до зачёркивания в числе были цифры: 5, 4, 3 и ещё одна неизвестная цифра. Обозначим её X.
8. Используем признак делимости на 9
Признак делимости на 9:
Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Сумма цифр числа до зачёркивания = 5 + 4 + 3 + X = 12 + X.
Так как число делится на 9, то и 12 + X должно делиться на 9.
9. Подбираем X
X — это цифра от 0 до 9. Проверяем по очереди:
- 12 + 0 = 12 → на 9 не делится
- 12 + 1 = 13 → нет
- 12 + 2 = 14 → нет
- 12 + 3 = 15 → нет
- 12 + 4 = 16 → нет
- 12 + 5 = 17 → нет
- 12 + 6 = 18 → да, делится на 9
- 12 + 7 = 19 → нет
- 12 + 8 = 20 → нет
- 12 + 9 = 21 → нет
Подходит только X = 6.
Ответ: Маша зачеркнула цифру 6.
Где именно она стояла в числе — неважно. Главное, что она была в числе, и её зачеркнули.
Проверка на примере
Возьмём число 5660.
Сумма цифр: 5 + 6 + 6 + 0 = 17.
Вычитаем: 5660 − 17 = 5643.
В числе 5643 зачёркиваем цифру 6 (вторую) — получаем 543.
Всё сходится.
Ответ: 6
Что запомнить
- Если из числа вычесть сумму его цифр, результат всегда делится на 9.
- Признак делимости на 9: сумма цифр должна делиться на 9.
- Раскрывая скобки с минусом, меняем все знаки перед слагаемыми внутри скобок.
Ставьте лайк, если разбор был полезен. Сохраняйте статью, чтобы повторить перед ВПР.