Когда речь заходит о численном моделировании, первый вопрос: какой метод выбрать? Классическая дилемма выглядит так.
Метод конечных разностей — построить сетку проще простого. Но когда нужно повысить точность, приходится либо дробить ячейки (медленно), либо тянуть высокий порядок аппроксимации на неструктурированной сетке, что для разностей — задача нетривиальная.
Метод конечных объемов — король неструктурированных сеток. Консервативен, устойчив, прощает многое. Но высокий порядок аппроксимации на сложной геометрии требует тяжелой реконструкции, и каждый дополнительный порядок — это боль.
А теперь спектральные элементы.
Здесь подход другой. Сетка строится относительно просто (конечно-элементная топология), а внутри каждого элемента работает высокий порядок — хоть 5-й, хоть 15-й. При этом сходимость не степенная, а экспоненциальная. Если решение гладкое, то ошибка убывает быстрее, чем любой полином.
Что это значит на практике?
Чтобы метод конечных объемов на неструктурированной сетке достиг точности, которую спектральный элемент дает на сетке с десятком узлов, потребуется плотность ячеек, от которой загрустит даже суперкомпьютер.
Конечно, за скорость сходимости приходится платить. Спектральные элементы чувствительны к разрывам, требуют аккуратной работы с граничными условиями и не прощают плохого качества сетки. Но если задача допускает гладкое решение и сложная геометрия не убивает гладкость, то спектральные элементы выигрывают по эффективности в разы.
В моей работе с полярными координатами именно экспоненциальная сходимость стала тем аргументом, ради которого стоило мучиться с сеткой, которая то строилась, то разваливалась. Потому что когда метод сходится быстро, правильный ответ приходит раньше, чем заканчивается терпение.
