22 подписчика

Парадокс дней рождения - почему в группе из 23 человек двое почти наверняка родились в один день

2 апреля2 апр

2 мин

В комнате 23 человека. Какова вероятность, что хотя бы двое из них родились в один и тот же день? Не в один год - просто число и месяц совпадают. Большинство людей говорят: «Маленькая. Процентов пять. Дней в году 365, а людей только 23.» Правильный ответ: 50,7%. Больше половины. Почти наверняка. А в группе из 50 человек - 97%. Практически гарантия. Мозг считает так: «23 человека, 365 дней. Шанс, что мой день рождения совпадёт с чьим-то - маленький.» И это верно - для конкретно тебя шанс маленький. Но вопрос не про тебя. Вопрос: совпадёт ли день рождения у ЛЮБОЙ пары. А пар в группе из 23 человек - 253. Это считается по формуле: 23 × 22 / 2 = 253. Каждая пара - отдельный шанс на совпадение. 253 попытки. Пусть каждая отдельная попытка маленькая (1/365 ≈ 0,27%), но 253 попытки складываются. Проще считать от обратного: какова вероятность, что ни у кого не совпадёт? Первый человек - любой день. Второй - не совпадает с первым: 364/365. Третий - не совпадает с двумя: 363/365. И так далее. Вер

Оглавление

Почему интуиция врёт
Считаем точно
Работает ли это в реальности

В комнате 23 человека. Какова вероятность, что хотя бы двое из них родились в один и тот же день? Не в один год - просто число и месяц совпадают.

Большинство людей говорят: «Маленькая. Процентов пять. Дней в году 365, а людей только 23.»

Правильный ответ: 50,7%. Больше половины. Почти наверняка.

А в группе из 50 человек - 97%. Практически гарантия.

Почему интуиция врёт

Мозг считает так: «23 человека, 365 дней. Шанс, что мой день рождения совпадёт с чьим-то - маленький.» И это верно - для конкретно тебя шанс маленький.

Но вопрос не про тебя. Вопрос: совпадёт ли день рождения у ЛЮБОЙ пары. А пар в группе из 23 человек - 253. Это считается по формуле: 23 × 22 / 2 = 253.

Каждая пара - отдельный шанс на совпадение. 253 попытки. Пусть каждая отдельная попытка маленькая (1/365 ≈ 0,27%), но 253 попытки складываются.

Считаем точно

Проще считать от обратного: какова вероятность, что ни у кого не совпадёт?

Первый человек - любой день. Второй - не совпадает с первым: 364/365. Третий - не совпадает с двумя: 363/365. И так далее.

Вероятность, что все 23 уникальны: 365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365 ≈ 0,493

Это 49,3% - вероятность, что совпадений НЕТ. Значит, вероятность, что совпадение ЕСТЬ - 50,7%.

При 30 людях - 70%. При 40 - 89%. При 50 - 97%. При 70 - 99,9%.

Работает ли это в реальности

Да. Возьми любой школьный класс из 25-30 человек - почти наверняка найдёшь двух людей с одинаковым днём рождения. На футбольном матче (22 игрока + судья = 23) совпадение случается примерно в половине матчей. Статистики проверяли на чемпионатах мира - подтверждается.

А вы знали?

Этот парадокс используется в криптографии. «Атака дней рождения» - метод взлома хеш-функций, основанный на том же принципе: чтобы найти совпадение в множестве, нужно перебрать гораздо меньше вариантов, чем кажется. Именно поэтому пароли и ключи шифрования делают длинными - чтобы 253 попытки превратились в 253 квинтиллиона.

Перельман не описывал именно эту задачу - она стала популярной чуть позже его времени. Но подход его: «Не верь интуиции. Считай.»

Что далее

Почему самолёт летает - объяснение, которое поймёт каждый. Спойлер: то, что рассказывают в школе - неполная правда.

Подпишись. Проверишь парадокс на работе или в классе? Пиши результат!

Если вы дочитали до конца - вам точно сюда. Подпишитесь, чтобы не потерять канал! Каждый день - одна задача, один фокус или один факт, всегда есть повод удивиться.