Геометрия в 7 классе только начинается, и одна из первых серьёзных тем — прямоугольный треугольник. Здесь важно не просто запомнить названия сторон, а понять логику свойств. Разберём всё по порядку — с пояснениями и развёрнутыми задачами.
🔹 Что такое прямоугольный треугольник?
Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой, то есть равен 90°.
Как называются стороны?
- Катеты — это стороны, которые образуют прямой угол. Они выходят из вершины прямого угла.
- Гипотенуза — это сторона, которая лежит напротив прямого угла. Она всегда длиннее каждого из катетов.
📌 Запомните: гипотенуза «смотрит» на прямой угол.
🔹 Свойства прямоугольного треугольника
1️⃣ Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
В любом прямоугольном треугольнике два острых угла в сумме дают ровно 90°.
▶ Задача.
В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 34°. Найдите второй острый угол.
Решение.
Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, то второй угол находится вычитанием известного угла из 90°:
90° – 34° = 56°.
✅ Ответ: второй острый угол равен 56°.
▶ Задача чуть сложнее.
Один острый угол прямоугольного треугольника на 20° больше другого. Найдите величину каждого острого угла.
Подсказка.
Обозначьте меньший угол через x. Тогда второй угол будет равен x + 20. Их сумма равна 90°.
Решение.
Составим уравнение:
x + (x + 20) = 90
2x + 20 = 90
2x = 70
x = 35
Значит, меньший угол равен 35°. Тогда второй угол: 35° + 20° = 55°.
✅ Ответ: острые углы равны 35° и 55°.
2️⃣ Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Если в прямоугольном треугольнике есть угол 30°, то катет, который лежит напротив этого угла, ровно в два раза короче гипотенузы.
▶ Задача.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 12 см, а один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, который лежит против этого угла.
Решение.
По свойству: катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
12 : 2 = 6 см.
✅ Ответ: длина катета равна 6 см.
3️⃣ Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
Это обратное свойство: если мы знаем, что катет в два раза короче гипотенузы, значит, угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
▶ Задача.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см, а один из катетов равен 5 см. Найдите угол, лежащий против этого катета.
Решение.
Катет 5 см составляет ровно половину от гипотенузы (10 см). Значит, угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
✅ Ответ: искомый угол равен 30°.
▶ Задача чуть сложнее.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 14 см, а один из катетов равен 7 см. Чему равны острые углы этого треугольника?
Решение.
Катет 7 см равен половине гипотенузы (14 см). Следовательно, угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
Второй острый угол находим по свойству суммы острых углов:
90° – 30° = 60°.
✅ Ответ: острые углы треугольника равны 30° и 60°.
4️⃣ Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Если в прямоугольном треугольнике провести медиану из вершины прямого угла к гипотенузе, то её длина будет равна половине гипотенузы.
▶ Задача.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 16 см. Найдите длину медианы, проведённой к гипотенузе.
Решение.
Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы:
16 : 2 = 8 см.
✅ Ответ: длина медианы равна 8 см.
🔹 Признаки равенства прямоугольных треугольников
1️⃣ По двум катетам
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
▶ Задача.
В одном прямоугольном треугольнике катеты равны 3 см и 4 см. В другом прямоугольном треугольнике катеты тоже равны 3 см и 4 см. Можно ли утверждать, что эти треугольники равны?
✅ Ответ: да, по двум катетам.
2️⃣ По катету и прилежащему к нему острому углу
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
▶ Задача.
В одном прямоугольном треугольнике катет равен 5 см, а прилежащий к нему острый угол составляет 40°. В другом прямоугольном треугольнике катет тоже равен 5 см, и прилежащий к нему острый угол также равен 40°. Равны ли эти треугольники?
✅ Ответ: да, они равны по катету и прилежащему острому углу.
3️⃣ По гипотенузе и острому углу
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
▶ Задача.
В одном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см, а один из острых углов равен 25°. В другом прямоугольном треугольнике гипотенуза также равна 10 см, и один из острых углов тоже равен 25°. Можно ли утверждать, что эти треугольники равны?
✅ Ответ: да, они равны по гипотенузе и острому углу.
4️⃣ По гипотенузе и катету
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
▶ Задача.
В одном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 13 см, а один из катетов равен 5 см. В другом прямоугольном треугольнике гипотенуза также равна 13 см, и один из катетов тоже равен 5 см. Равны ли эти треугольники?
✅ Ответ: да, они равны по гипотенузе и катету.
✨ Задача для тех, кто хочет проверить себя
Склон горы имеет форму прямоугольного треугольника. Угол наклона склона к горизонтальной поверхности земли равен 30°. Длина склона на 10 метров больше, чем высота горы. Найдите длину склона.
🔹 Подсказка
- Земля — горизонтальная линия.
- Высота горы — вертикальная линия от вершины вниз.
- Склон — наклонная линия (гипотенуза).
- Угол 30° — между склоном и землёй.
- Высота горы лежит против этого угла.
🔹 Решение
- В прямоугольном треугольнике угол между склоном (гипотенузой) и землёй (горизонтальным катетом) равен 30°. Значит, высота горы — это катет, лежащий против этого угла.
- По свойству: катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.
Обозначим гипотенузу (длину склона) за x. Тогда высота горы = x/2. - По условию: длина склона на 10 м больше высоты:
x = x/2 + 10 - Умножаем всё на 2:
2x = x + 20
x = 20
✅ Ответ: длина склона равна 20 метров.
🔹 Коротко о главном
- В прямоугольном треугольнике два острых угла в сумме всегда дают 90°.
- Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы (и наоборот).
- Медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине.
- Существует 4 признака равенства прямоугольных треугольников — их важно не просто выучить, а понимать.
📌 Сохраняйте этот пост, решайте задачи и не бойтесь геометрии!
👉 Подписывайтесь на канал, чтобы не пропускать новые разборы.
#Геометрия #7Класс #ПрямоугольныйТреугольник #Математика #РепетиторПоМатематике #ЗадачиПоГеометрии #СвойстваПрямоугольногоТреугольника #ПризнакиПрямоугольногоТреугольника