ШАГ 5. ОБОБЩЕНИЕ НА N ОСЦИЛЛЯТОРОВ. ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОЕ ПОЛЕ.
При большом N писать уравнения для каждой пары неудобно. Мы вводим феноменологическое поле Ψ_((t,r)) как математический инструмент, который кодирует информацию о средней фазе и плотности осцилляторов в окрестности точки r.
Как оно возникает? Осциллятор в точке R_j «излучает» сигнал о своей фазе. Сумма таких сигналов от всех осцилляторов, пришедших в точку r, и даёт Ψ_((t,r)). Уравнение для него — нелинейное волновое уравнение (типа Гросса-Питаевского), которое является эффективным приближением микроскопической динамики (NОС).
Константы ℏ_eff, m_eff, g— не фундаментальны. Они выражаются через ω_0, σ, c и среднюю плотность осцилляторов.
Важно: Это поле Ψ — не первичная среда, а коллективная переменная, удобная для описания. Оно существует, только пока существует и синхронизирована сеть осцилляторов.
ШАГ 6. ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА
Цель: Показать, что масса возникает не как внутреннее свойство, а как мера сопротивления сети изменению паттерна фазовых связей при ускоренном движении.
Исходная модель:
Три идентичных осциллятора: A, B, C.
Их состояние — фаза: θ_A, θ_B, θ_C.
Они обмениваются сигналами с конечной скоростью c. Задержка связи: τ_ij=R_ij/c.
Динамика описывается моделью Курамото с задержками. Уравнение для A:
Аналогично для B и C.
Эксперимент:
Начало: Система находится в синхронном состоянии.
Воздействие: Медленно и с постоянной скоростью v начинаем двигать осциллятор A. При этом меняются расстояния R_AB и R_AC, а значит, и задержки τ_AB, τ_AC.
Реакция сети: Чтобы остаться в синхронии, фазы B и C вынуждены меняться, следуя за изменяющимися задержками. Возникает динамическая перестройка фазового паттерна.
Вывод эффективной массы:
Сила сопротивления движению A возникает из-за необходимости непрерывно перестраивать фазы B и C.Эта сила пропорциональна ускорению a.
Коэффициент пропорциональности между силой и ускорением и есть эффективная инертная масса m_eff.
Расчёт (для симметричного случая, когда связи A-B и A-C одинаковы) даёт формулу:
Интерпретация и ключевые следствия:
1. Масса — динамическая, а не статическая. Она равна нулю, если осциллятор неподвижен. Она проявляется только при попытке изменить его положение в сети (ускорении).
2. Масса зависит от всей сети (принцип Маха).
- Если связь B-C очень жёсткая (J' велико), то m_eff стремится к нулю. B и C образуют жёсткую систему, и сдвинуть A относительно них легко.
- Если связь B-C слабая (J' мало), то m_eff максимальна. Чтобы сдвинуть A, приходится раскачивать всю рыхлую сеть.
Вывод: В абсолютно пустой Вселенной (нет B и C) инерция обращается в ноль.
3. Природа массы: Масса — это энергия, необходимая для перекалибровки фазовых отношений во всей сети при ускоренном движении объекта. Чем сильнее объект «вплетён» в сеть (чем больше σ и чем больше связей), тем больше его инерция.
4. Эквивалентность масс. В этой модели «гравитационная масса» (способность искривлять вокруг себя фазовое поле) и «инертная масса (сопротивление ускорению) обязаны одному и тому же —силе связи осциллятора σ и его вкладу в общий фазовый ландшафт. Поэтому они равны по определению.
Численный пример:
Положим σ=1, Ω =1, c =1. В равностороннем треугольнике все связи равны: J = J' = 1.
Тогда m_eff = 2 * [1/(1+2)]^2 = 2/9 ≈ 0.22.
Если ослабить связь B-C в 10 раз (J'=0.1), то масса возрастёт: m_eff = 2 * [1/(1+0.2)]^2 ≈ 1.39.