Эту задачу на ВПР многие решают неправильно из-за запутанного условия. Но есть два простых способа — прикидка и строгое решение. Сохраняйте, чтобы не потерять!
📌 Условие
В трёх ящиках лежат красные, синие и белые шары. Известно, что:
- Число синих шаров в каждом ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках.
- Число белых шаров в каждом ящике равно общему числу красных шаров во всех остальных ящиках.
- Общее количество шаров чётное, больше 30 и меньше 50.
Найдите, сколько всего шаров лежит в ящиках.
Как решать: два взгляда на одну задачу
📌 Способ 1. Прикидка (метод проб)
Давайте попробуем подобрать ответ простым перебором. Для начала нужно понять, как связаны между собой количества шаров разных цветов.
🧮 Обозначим общее количество красных шаров во всех трёх ящиках буквой x.
🔍 Как найти, сколько белых шаров?
Вспомним второе условие: число белых шаров в каждом ящике равно общему числу красных шаров во всех остальных ящиках.
Если сложить все белые шары из всех ящиков, то в этой сумме каждый красный шар встретится дважды. Почему?
• Красные из первого ящика попадают в белые второго и третьего.
• Красные из второго — в белые первого и третьего.
• Красные из третьего — в белые первого и второго.
👉 Получается, что всех белых шаров в 2 раза больше, чем всех красных. Значит, если красных x, то белых — 2x.
🔍 Как найти, сколько синих шаров?
Теперь первое условие: число синих шаров в каждом ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках.
Рассуждаем точно так же: если сложить все синие шары, то каждый белый шар встретится дважды.
👉 Значит, всех синих шаров в 2 раза больше, чем всех белых. А белых у нас 2x, поэтому синих — 2 • (2x) = 4x.
📊 Теперь у нас есть всё, чтобы перебирать возможные значения x. Давайте начнём с x = 4.
Тогда:
• Белых шаров: 4 • 2 = 8.
• Синих шаров: 8 • 2 = 16.
Складываем: 4 + 8 + 16 = 28. Число 28 не попадает в интервал от 30 до 50, поэтому не подходит.
Попробуем другое число. Возьмём красных 5.
• Белых: 5 • 2 = 10.
• Синих: 10 • 2 = 20.
Сумма: 5 + 10 + 20 = 35 — попадает в интервал от 30 до 50, но 35 нечётное, а нужно чётное. Не подходит ❌
Возьмём красных 6.
• Белых: 6 • 2 = 12.
• Синих: 12 • 2 = 24.
Сумма: 6 + 12 + 24 = 42. 42 — чётное и попадает в интервал. Похоже, мы нашли нужное число! 🎯
Возьмём красных 7:
• Белых: 7 • 2 = 14.
• Синих: 14 • 2 = 28.
Сумма: 7 + 14 + 28 = 49 — снова нечётное ❌
Возьмём красных 8:
• Белых: 8 • 2 = 16.
• Синих: 16 • 2 = 32.
Сумма: 8 + 16 + 32 = 56 — уже больше 50.
Дальше проверять смысла нет, потому что сумма будет только расти.
Получается, что из всех вариантов только 42 подходит по чётности и попадает в нужный промежуток.
✅ Ответ: 42 шара.
📌 Способ 2. Строгое решение (через части)
Чтобы удобно было записывать условия, договоримся обозначать:
• К₁, К₂, К₃ — красные шары в первом, втором и третьем ящиках.
• С₁, С₂, С₃ — синие шары в первом, втором и третьем ящиках.
• Б₁, Б₂, Б₃ — белые шары в первом, втором и третьем ящиках.
Теперь разберёмся по шагам.
❗ Шаг 1. Находим связь между синими и белыми шарами.
Запишем первое условие для каждого ящика:
• Ящик 1: С₁ = Б₂ + Б₃ (синих в первом столько же, сколько белых во втором и третьем)
• Ящик 2: С₂ = Б₁ + Б₃ (синих во втором столько же, сколько белых в первом и третьем)
• Ящик 3: С₃ = Б₁ + Б₂ (синих в третьем столько же, сколько белых в первом и втором)
Сложим эти три равенства. Записываем:
Левая часть:
С₁ + С₂ + С₃ — это сумма синих шаров во всех ящиках, то есть все синие шары.
Правая часть:
(Б₂ + Б₃) + (Б₁ + Б₃) + (Б₁ + Б₂)
Теперь посчитаем, сколько раз встретились белые шары из каждого ящика:
• Б₁ есть во втором и третьем уравнениях → 2 раза.
• Б₂ есть в первом и третьем → 2 раза.
• Б₃ есть в первом и втором → 2 раза.
Значит, в правой части получилось:
Б₁ + Б₁ + Б₂ + Б₂ + Б₃ + Б₃ = 2 • (Б₁ + Б₂ + Б₃)
А Б₁ + Б₂ + Б₃ — это сумма белых шаров во всех ящиках, то есть все белые шары.
Получаем равенство:
Все синие шары = 2 • Все белые шары.
👉 Всех синих шаров ровно в 2 раза больше, чем всех белых.
❗ Шаг 2. Находим связь между белыми и красными шарами.
Теперь запишем второе условие:
• Ящик 1: Б₁ = К₂ + К₃ (белых в первом столько же, сколько красных во втором и третьем)
• Ящик 2: Б₂ = К₁ + К₃ (белых во втором столько же, сколько красных в первом и третьем)
• Ящик 3: Б₃ = К₁ + К₂ (белых в третьем столько же, сколько красных в первом и втором)
Складываем эти три равенства:
Левая часть:
Б₁ + Б₂ + Б₃ — это сумма белых шаров во всех ящиках, то есть все белые шары.
Правая часть:
(К₂ + К₃) + (К₁ + К₃) + (К₁ + К₂)
Считаем, сколько раз встретились красные шары:
• К₁ есть во втором и третьем → 2 раза.
• К₂ есть в первом и третьем → 2 раза.
• К₃ есть в первом и втором → 2 раза.
Значит, в правой части:
К₁ + К₁ + К₂ + К₂ + К₃ + К₃ = 2 • (К₁ + К₂ + К₃)
А К₁ + К₂ + К₃ — это сумма красных шаров во всех ящиках, то есть все красные шары.
Получаем:
Все белые шары = 2 • Все красные шары.
👉 Всех белых шаров ровно в 2 раза больше, чем всех красных.
❗ Шаг 3. Переводим соотношения на язык частей
Теперь представим все шары в виде частей.
• Пусть красные шары — это 1 часть.
• Тогда белые шары (их в 2 раза больше) — это 2 части.
• А синие шары (их в 2 раза больше, чем белых) — это 4 части.
❗ Шаг 4. Считаем общее количество частей
Всего частей: 1 + 2 + 4 = 7 частей.
Это значит, что общее число шаров обязательно делится на 7.
❗ Шаг 5. Подбираем ответ
По условию общее число шаров чётное и лежит между 30 и 50.
Какие числа в этом промежутке делятся на 7?
• 35 — делится, но нечётное (как раз тот случай, когда красных было 5) ❌
• 42 — делится и чётное (красных 6) ✅
• 49 — делится, но нечётное ❌
Других вариантов нет. Значит, общее количество шаров — 42.
❗ Шаг 6. Проверяем количество шаров каждого цвета
Если всего 42 шара и это 7 частей, то одна часть = 42 : 7 = 6 шаров.
• Красные: 1 часть = 6 шаров.
• Белые: 2 части = 12 шаров.
• Синие: 4 части = 24 шара.
Сумма: 6 + 12 + 24 = 42. Всё сходится.
✅ Ответ: 42 шара.
Вывод
Главный секрет задачи — не пытаться узнать, сколько шаров в каждом ящике по отдельности. Достаточно понять, как связаны общие количества шаров разных цветов, и тогда ответ находится сам собой. А метод «частей» делает решение простым и наглядным даже для того, кто не любит сложные уравнения.
#ВПР2026 #ВПРматематика #6класс #математика #задание17 #разборзадач