Ровно полдень. Обе стрелки часов смотрят вверх - совпали. Часовая и минутная - одна на другой.
Вопрос: когда они совпадут в следующий раз?
Первая мысль - в 1:05. Минутная стрелка пробежит полный круг и догонит часовую где-то в районе единицы. Но если присмотреться - в 1:05 часовая уже чуть-чуть уползла за отметку «1». Минутная стоит на «1», а часовая - впереди.
Стоп. Подумай минуту. Попробуй прикинуть точное время.
Почему 1:05 — неправильно
В 1:05 минутная стрелка указывает на цифру 1 (5 минут = отметка «1»). Но часовая к этому моменту прошла 65 минут от полудня. За час она проходит 30 градусов (полный круг - 360 градусов за 12 часов). За 65 минут - 32,5 градуса. А минутная за 5 минут прошла 30 градусов.
Часовая впереди на 2,5 градуса. Они не совпали. Минутная чуть-чуть не догнала.
Точный ответ: 1 час 5 минут и 27 секунд
Вот как считать. Минутная стрелка проходит 360 градусов за 60 минут - это 6 градусов в минуту. Часовая - 360 градусов за 12 часов, то есть 0,5 градуса в минуту. Разница скоростей - 5,5 градуса в минуту.
В 12:00 обе стрелки на нуле. Часовая начинает убегать. Минутная догоняет. Чтобы минутная нагнала отставание в полный круг (360 градусов), нужно: 360 / 5,5 = 65,45 минуты. Это 1 час 5 минут и 27 секунд.
Задача решается как задача на догонялки - одна стрелка «убегает», другая «догоняет». Скорость сближения - разница скоростей.
Сколько раз совпадут за 12 часов
Стрелки совпадают каждые 65 минут 27 секунд. За 12 часов - ровно 11 раз, а не 12. Потому что при переходе от 11 к 12 часовая и минутная встречаются ровно в 12:00 - это начало нового цикла, а не конец старого.
Одиннадцать совпадений за двенадцать часов. Одно пропадает - как лишний метр на экваторе, который даёт 16 сантиметров зазора. Числа обманывают.
А вы знали?
Часовые мастера используют эту задачу как тест. Если ученик отвечает «1:05» - он думает приблизительно. Если «1:05:27» - он понимает механику. А если спрашивает «а сколько раз за сутки?» - из него выйдет толк.
Швейцарские часовщики восемнадцатого века решали эту задачу без формул - просто наблюдая за механизмом. Они знали: стрелки совпадают 22 раза в сутки. Ни больше, ни меньше.
Что далее
Доказательство, которое сломает мозг: почему 0,999... (бесконечная девятка) - это ровно 1. Не «почти 1», не «стремится к 1», а именно РАВНО единице. Три строчки алгебры - и мир уже не тот.
Вы решил правильно или попались на 1:05? Если вы дочитали до конца - вам точно сюда. Подпишитесь, чтобы не потерять канал! Каждый день - одна задача, один фокус или один факт, всегда есть повод удивиться.
Читайте также:
Канал «А вы знали?» - задачи, фокусы и наука. Каждый день - повод удивиться.
#перельман #авызнали #задачиперельмана #головоломка #задача