В XIX веке профессор Императорского Казанского университета Николай Лобачевский перевернул представление о пространстве: он изложил новый взгляд на пятый постулат геометрии древнегреческого математика Евклида. Так родилась неевклидова геометрия — теория, которая спустя столетие стала математическим языком космологии, теории относительности и современных технологий.
О том, как одна аксиома изменила научную картину мира, рассказывает Аркадий Попов — доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой геометрии Института математики и механики им. Н.И. Лобачевского КФУ.
Геометрия как система правил
Современная геометрия строится на аксиомах — утверждениях, принимаемых без доказательства. Из них логически выводятся все теоремы. Такой подход оформился в III веке до н. э. в труде Евклида «Начала». Его система стала фундаментом геометрии. Но один из ее постулатов оказался особенным.
Загадка пятого постулата
Современный аналог пятого постулата Евклида гласит: через точку вне прямой на плоскости можно провести не более одной прямой, не пересекающей данную. Математики более двух тысяч лет пытались доказать, что это утверждение следует из других аксиом. Но каждое «доказательство» опиралось на скрытое допущение, равносильное самому постулату.
Открытие Николая Лобачевского
В 1826 году профессор КФУ Николай Лобачевский сделал смелый шаг: он понял, что пятый постулат Евклида не следует из остальных. Следовательно, если заменить этот постулат его отрицанием: через точку вне прямой на плоскости можно провести более одной прямой, не пересекающей данную, то получится новая, логически стройная геометрия. Так родилась первая неевклидова геометрия.
Пространство становится физическим
В начале XX века немецкий математик Герман Минковский показал: пространство и время образуют единую четырехмерную пространственно-временную структуру. А несколько позже Альберт Эйнштейн показал, что гравитационное взаимодействие можно описывать как искривление такого четырехмерного пространства. В его теории гравитации пространство искривляется материей. Неевклидова геометрия стала математическим языком общей теории относительности.
Геометрия объясняет космос
Общая теория относительности объяснила:
- смещение орбиты Меркурия;
- отклонение света Солнцем;
- существование гравитационных волн;
- расширение Вселенной.
Наблюдения показали, что расширение Вселенной происходит с ускорением — возможно, из-за экзотической и пока до конца не понятой «темной энергии». Геометрия искривленных пространств дает язык для описания таких явлений.
От теории струн до микромира
Попытка объединить гравитацию с квантовой механикой привела к появлению теории струн. Для ее математической согласованности требуется рассматривать пространства большего числа измерений, чем привычные четыре. И снова ключевым инструментом исследования выступает геометрия искривленных и многомерных пространств.
Практика: почему это важно
Без учета релятивистских поправок, корректировок расчетов, которые учитывают эффекты теории относительности Эйнштейна, GPS накапливал бы ошибку до 10 км в день. Открытие Николая Лобачевского дало толчок развитию новых математических дисциплин — топологии, теории многообразий, тензорного анализа — и стало фундаментом некоторых разделов современной физики. Спор о возможности доказать V постулат Евклида изменил наше понимание науки.