Прежде чем мы будем говорить об этой теме, давайте обсудим, а зачем она нужна? Зачем нужно уметь раскладывать на линейные множители?
Иногда у нас встречаются вот такие задания.
Есть выражение, а задание может быть разным: упростить выражение, сократить выражение, или же, как на фото, найдите значение дроби при какой-то конкретном х.
Хорошо, если х равен двум или пяти, а если 325, такое выражение уже будет сложновато решать. Вот для этого нам и нужно уметь раскладывать квадратные трехчлены на линейные множители.
Сразу же отмечу, разложив на множители, мы сможем сократить эту дробь, в результате получим довольно простое выражение, которое уже не составит труда посчитать при любом х.
Позже вернемся к этому заданию. Сейчас же рассмотрим, как раскладывать квадратный трехчлен на линейные множители.
Корни квадратного уравнения можно найти либо через дискриминант, либо при помощи теоремы Виета.
Рассмотрим теоремы, которые помогут раскладывать квадратный трехчлен на множители.
Теорема 1.
Докажем эту теорему. Вынесем для начала за скобки коэффициент а. Тогда получится, что второй коэффициент и свободный член должны разделить на а.
Из теорем Виета мы знаем, что b деленное на а обозначаем p, с деленное на а обозначаем q.
Запишем выражение в скобках как приведенное квадратное уравнение:
Из теорем Виета мы знаем, что приведенное квадратное уравнение можно разложить на множители:
Подставим это в наше тождество
Доказали первую теорему.
Из этой теоремы есть важное замечание. Если дискриминант равен 0, то значит корни у нас совпадают.
Верно и обратно:
Вынесем из первой и второй скобки в правой части равенства коэффициенты стоящие перед x. Получим выражение:
Внимательно посмотрите на выражения в скобках. Это же теорема 1, которую доказали выше.
Очевидно, что дробные выражения, стоящие в скобках, это и есть корни уравнения.
По существу мы только что доказали Теорему 2.
Это означает, что прежде чем раскладывать квадратный трехчлен на множители, надо найти дискриминант и определить, больше нуля он, равен нулю или меньше.
В том случае, если меньше, то разложить квадратный трехчлен мы не сможем, так как уравнение, то есть наш квадратный трехчлен не будет иметь корней.
Если равен, то как уже говорилось выше – корень будет один. По существу это означает, что х1=х2.
Если же больше нуля, то есть два отличных друг от друга корня.
Теперь вернемся к тому выражению, которое мы рассматривали в самом начале.
Корни выражения в числителе, мы найдем при помощи теоремы Виета.
Корни выражения в знаменателе при помощи дискриминанта.
Запишем полученные произведения в числитель и в знаменатель. Причём в знаменатели множитель 6, стоящий перед скобками внесём во вторую скобку. Получим:
Есть одинаковое выражение (х-2) в числителе и знаменателе, на которое можно сократить.
Теперь уже не столь сложно найти значение этого выражения при любом х.