Хочу обратить ваше внимание, что слово «решение» мы используем в различных значениях.
· Непосредственно сам процесс решения неравенства мы называем решением.
· Множество всех значений переменной х, при котором наше неравенство становится верным неравенством, мы тоже называем решением, это общее решение.
· И конкретно взятое одно единственное частное решение мы тоже называем решением.
Кстати, общее решение еще можно назвать множеством частных решений неравенства.
Обычно из контекста бывает понятно, в каком смысле мы используем этот термин.
Итак, перейдем к равносильным неравенствам.
Хочу обратить ваше внимание на то, что знак, указанный в определении, не столь важен, он не принципиален. Нам не важно, больше, меньше, больше равно, меньше равно. Этот знак в определении — просто взятый пример, нам важна сама суть определения.
Проиллюстрируем это на примере.
Выполнив нехитрые преобразования, выясним, что решением первого неравенства является объединение числовых промежутков.
Решением второго неравенства является числовой промежуток от 5 до плюс бесконечности.
Очевидно, что решение второго неравенства содержится в решении первого неравенства.
То есть первое неравенство является следствием второго неравенства. Интересное произойдет, если поменять знак. Ситуация кардинально изменится.
Теперь решение первого неравенства содержится в решении второго неравенства. То есть второе неравенство становится следствием первого неравенства.
Решая уравнение, мы иногда можем получить лишние корни. Достаточно выполнить проверку, чтобы отсечь их. Однако это действие нецелесообразно, когда мы решаем неравенство, так как решением неравенства являются числовые промежутки.
Для того, чтобы найти правильное решение сразу, нам нужно выполнять правильные преобразования, то есть из одного неравенства получить равносильное ему. Именно для этого нам нужны свойства равносильных неравенств, то есть ряд теорем, которые помогут выполнять равносильные преобразования.
Теорема 1.
Проиллюстрируем это примером.
Перенесем 18 из одной части неравенства в другую с противоположным знаком. Знак неравенства не меняем.
Получили неравенство равносильно исходному.
Теорема 2.
Акцент здесь надо сделать на том, что степень обязательно должна быть нечетной.
Посмотрим это на примере.
Решать такие неравенства мы не умеем. Однако, мы можем воспользоваться теоремой 2, которая как раз таки позволит нам найти решение этого неравенства.
Возведем в куб обе части неравенства, получим неравенство, равносильное данному, таким образом избавимся от корня третьей степени в знаменателе. Полученное неравенство решать умеем.
Следующая теорема
К данной теореме рассмотрим два примера. В первом, основание степени больше 1, и поэтому равносильное неравенство без изменения знака. Во втором неравенстве основание степени 0,25 в промежутке от 0 до 1. Поэтому, составляя равносильное неравенство, нам нужно будет знак неравенства поменять на противоположный.
Следующее свойство равносильных неравенств в теореме 4.
Это первая часть этой теоремы. У нее еще есть и вторая часть.
Что произойдет, если мы умножим на выражение, отрицательное при всех х из области определения? Наверное, вы уже догадались, что в этом случае нам надо будет знак неравенства поменять на противоположный.
Чуть позже мы рассмотрим доказательства этой теоремы, а сейчас перейдем к примерам.
Для первой части теоремы рассмотрим пример, у которого в левой части стоит дробное выражение. Для того чтобы избавиться от дроби, домножим неравенство на 7.
Для второй части теоремы изменим наше неравенство, просто поставив перед дробью в левой части знак минус. И теперь для того, чтобы убрать этот минус, нам надо будет домножить на отрицательное число.
Умножим на (-7). В результате левая часть у нас останется прежней, а вот дальше будут изменения: знак надо будет поменять на противоположный и перед выражением будет стоять знак минус.
Сформулируем пятую и шестую теоремы, после этого вернемся к четвертой и докажем ее. Итак, теорема 5.
Рассмотрим следующий пример.
ОДЗ у нас будет от минус бесконечности до 8. Причем неравенство нестрогое, поэтому 8 мы тоже включаем.
Получается, что левая и правая части неравенства у нас обе положительные. Значит, мы можем их обе возвести в квадрат и найти значение х, при котором неравенство будет верным.
То есть, возведя в квадрат, мы получим неравенство, равносильное первоначальному.
Последняя теорема о свойствах равносильных неравенств:
Обратите внимание, эта теорема напоминает нам теорему 3, там тоже были такие же условия для выполнения равносильных преобразований. Проиллюстрируем эту теорему примерами.
Обращаю ваше внимание на то, что в примерах мы рассмотрели только равносильные преобразования. Это еще не решение неравенства.
Для того, чтобы решить это неравенство, нам надо обязательно рассмотреть еще одно условие. Выражение в скобках должно быть больше нуля. Это ограничение на нас накладывает определение логарифма.
Вернемся к теореме 4.
Докажем только первую часть теоремы, вторая доказывается аналогично.
В ходе рассуждений мы будем доказывать, что полученное новое неравенство равносильно нашему исходному неравенству. Для доказательства теоремы нам потребуется одно из правил преобразования неравенств.
Обе части неравенства можно умножить или разделить на положительное число, при этом знак неравенства надо оставить без изменения. Если же мы будем умножать или делить на отрицательное число, то знак неравенства надо поменять на противоположный.
Чтобы доказать равносильность неравенств исходного и полученного, нам нужно доказать, что решения неравенства f (х) > g(х) являются решениями неравенства f(х)*h(х) > g(х)*h(х). И наоборот, что решения неравенства f(х)*h(х) > g(х)*h(х) являются решениями неравенства f (х) > g(х).
Сначала докажем в одну сторону, потом в обратную.
Итак, пусть у нас, а — частное решение исходного неравенства. Если мы подставим а в функцию, какую-то конкретную функцию, то мы получим число. То есть f(а) > g(а) — это будет верное числовое неравенство.
Числовое!
f (а) — это у нас какое-то число, g(а) — это тоже какое-то число. У нас каких-то два числа, одно из них больше другого. Дальше мы умножим на h(а), причем h(а) > 0 по условию нашей теоремы.
h(а) — это тоже будет какое-то число. И вот здесь вступает наше правило, которое в верхнем правом углу красным выделено.
При умножении на h(а) мы получим верное неравенство.
Теперь докажем в обратную сторону.
Вторая часть доказывается абсолютно аналогично.
Единственное, что так как мы там умножаем на h(х) < 0, то каждый раз, выполняя преобразование, знак неравенства у нас будет меняться на противоположный.
Осталось рассмотреть еще два определения, которые относятся к этой теме.
Обозначают систему неравенств фигурной скобкой, объединяя все неравенства, входящие в неё.
Следующее определение
Совокупность неравенств обозначают квадратной скобкой, объединяя все неравенства, входящие в совокупность.
Проиллюстрируем эти два определения примерами. Мы уже с вами рассматривали логарифмическое неравенство. И тогда мы не решили их, а только выполнили преобразования. Для того, чтобы решить неравенство, нам надо рассмотреть еще одно важное условие: выражение, которое стоит под знаком логарифма, которое должно быть обязательно больше нуля. Для того, чтобы решить это неравенство, нам и нужно составить систему.
Первое неравенство системы – это преобразование, когда мы избавляемся от логарифма.
Второе – выражение (16−4х), которое должно быть больше 0.
Выполняем преобразование и получаем два числовых промежутка, которые пересекаются на числовом отрезке от 1,75 до 4.
Этот числовой отрезок и будет ответом для нашей системы неравенств, а значит и для логарифмического неравенства.
Теперь рассмотрим пример для совокупности неравенств. Предположим, у нас есть вот такое выражение.
Нам надо выяснить, на каких участках функция не определена. Функция будет не определена на тех участках, где подкоренные выражения меньше нуля, строго меньше нуля, потому что определена она будет на том участке, где больше равна нулю.
Нужно рассмотреть оба подкоренных выражения. Ответом будет каждое из решений. То есть надо рассмотреть совокупность неравенств.
Итоговым ответом будет объединение двух числовых промежутков.
Ещё раз отмечу, что здесь мы ищем не решение неравенств, а участки, на которых функция не определена, и для ответа нам необходима совокупность из двух подкоренных выражений.
Мы рассмотрели все вопросы, которые необходимо было рассмотреть в этой теме: «Равносильные неравенства. Свойства равносильных неравенств».