Формулы сокращенного умножения — это тождества, с помощью которых проще выполнять преобразование различных выражений. Рассмотрим доказательства этих формул и начнем с квадрата суммы.
Запишем левую часть тождества и представим квадрат выражения, как умножение двух одинаковых выражений.
Перемножим каждое выражение первой скобки на каждое выражение второй скобки. Получим:
Приведем подобные и получим искомое выражение, что и требовалось доказать.
Квадрат разности.
Доказательство этого тождества напоминает доказательство предыдущей формулы. Здесь тоже мы раскладываем на две скобки, перемножаем выражение из первой скобки на выражение из второй скобки. Единственное, про что необходимо помнить, что перед b стоит знак минус, который относится именно к b.
Поэтому, когда мы приводим подобные, у нас получается:
В итоге мы получаем выражение:
Переходим к следующему равенству – разность квадратов двух выражений.
Обратите внимание на фото левую и правую часть тождества уже поменяли местами. Именно в таком виде мы и будем его доказывать.
Перемножим каждое выражение из первой скобки с каждым выражением из второй. Получим:
Приведём подобные и получим искомое выражение:
Следующее тождество — куб суммы.
Рассмотрим доказательства.
Представим куб суммы а и b, как произведение квадрата суммы а и b и суммы а и b. Как раскладывается квадрат суммы мы уже знаем.
По очереди перемножим каждое выражение с первой скобки на каждое выражение из второй скобки. В результате получим:
Приведем подобные и получим искомое выражение
Следующее тождество куб разности.
Рассмотрим доказательство. Оно похоже на доказательство предыдущего тождества. Мы снова представляем куб, только на этот раз в виде произведение квадрата разности и разности а и b. Как раскладывается квадрат разности, мы уже знаем, преобразуем эту формулу.
Теперь каждое выражение из первых скобок умножим на каждое выражение из вторых скобок. В результате получим:
Приведем подобные и получим искомое выражение:
Следующая формула сокращенного умножения — сумма кубов.
Для того, чтобы доказать это утверждение, воспользуемся приемом, которым мы уже пользовались при доказательстве разности квадратов, то есть произведение двух скобок преобразуем в искомое выражение. Умножим каждое выражение из первой скобки на каждое выражение из второй скобки:
Затем приведем подобные:
и получим искомое выражение:
Следующее тождество — разность кубов.
Очень похоже на предыдущее тождество. Доказательство также аналогично вышеизложенному. Умножим каждое выражение из первой скобки на каждое выражение из второй скобки:
Приводим подобные и получаем искомое выражение:
На что еще хочу обратить внимание:
Формулы сокращенного умножения имеет смысл запомнить. Их знание позволит значительно сократить время при преобразовании различных выражений