В открытом банке заданий ФИПИ появилась новая задача. Это задание №16, и оно вполне может встретиться вам на реальном экзамене. Разберём её максимально подробно.
Условие задачи
В окружность с центром в точке O вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки O до сторон треугольника равно 4√3. Найдите сторону треугольника.
Что нам дано:
- Треугольник равносторонний (все стороны равны, все углы по 60°)
- Он вписан в окружность (вершины лежат на окружности)
- O — центр окружности (и центр треугольника тоже)
- Расстояние от O до стороны треугольника = 4√3
- Найти сторону треугольника
Теория: что нужно знать о равностороннем треугольнике
Для решения задачи важно помнить несколько ключевых фактов:
- В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Эта точка называется центром треугольника.
- Расстояние от центра треугольника до его стороны — это радиус вписанной окружности (r).
- Расстояние от центра до вершины — это радиус описанной окружности (R).
- Для равностороннего треугольника со стороной a есть формулы:
r = a√3 / 6 (радиус вписанной окружности)
R = a√3 / 3 (радиус описанной окружности)
R = 2r (радиус описанной всегда в 2 раза больше вписанного)
Пошаговое решение
Шаг 1. Анализируем условие.
В задаче сказано: "Расстояние от точки O до сторон треугольника". Это расстояние от центра до стороны — перпендикуляр, а в треугольнике это и есть радиус вписанной окружности.
Значит: r = 4√3.
Шаг 2. Вспоминаем связь между стороной и радиусом.
Для равностороннего треугольника есть формула: r = a√3 / 6.
Мы знаем r, нам нужно найти a. Подставляем:
4√3 = (a√3) / 6
Шаг 3. Решаем уравнение.
В обеих частях уравнения есть множитель √3. Разделим на него левую и правую части — это упростит уравнение:
4 = a / 6
Теперь умножаем обе части на 6, чтобы найти a:
a = 4 · 6 = 24
Ответ: 24
Важные выводы, которые нужно запомнить
- В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей — это одна и та же точка.
- Расстояние от центра до стороны — это радиус вписанной окружности (r).
- Золотая формула для этой задачи: r = a√3 / 6.
- Не бойтесь сокращать на √3 в уравнениях — это упрощает вычисления.
А вы знали, что эту задачу можно решить ещё одним способом — через радиус описанной окружности и теорему Пифагора?
Подписывайтесь на канал, чтобы не пропускать разборы новых заданий из банка ФИПИ! 🔔
#огэ2026 #математика #геометрия #задание16 #окружность #треугольник #равностороннийтреугольник #фипи #банкфипи