В открытом банке заданий ФИПИ появилась новая геометрическая задача. Она уже включена в официальный перечень и может встретиться вам на реальном экзамене. Разберём её максимально подробно.
Что нужно знать о ромбе
Определение. Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Свойства углов. Противоположные углы ромба равны: ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет 180°.
Особое свойство диагоналей. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то есть делят углы пополам. (Для справки: они ещё и перпендикулярны, но в этой задаче это не пригодится.)
Высота ромба. Это перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону. Высота образует прямоугольный треугольник со стороной ромба.
Условие задачи (из банка ФИПИ)
Один из углов ромба равен 118°. Найдите угол между высотой и большей диагональю ромба.
Дано: ABCD — ромб, ∠C = 118°, AH — высота к стороне DC, BD — диагональ, AH ∩ BD = N.
Найти: ∠ANB.
Пошаговое решение
Шаг 1. Находим угол D.
В ромбе сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Углы C и D прилежат к стороне CD. Поэтому:
∠D = 180° – 118° = 62°.
Шаг 2. Применяем свойство диагонали-биссектрисы.
Диагональ BD делит угол D пополам. Значит:
∠BDC = 62° : 2 = 31°.
Шаг 3. Работаем с высотой.
Высота AH перпендикулярна стороне DC, значит, в треугольнике DNH угол DHN — прямой, то есть равен 90°. Угол HDN равен углу BDC, то есть 31°.
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Следовательно:
∠DNH = 90° – 31° = 59°.
Шаг 4. Учитываем вертикальные углы.
Углы DNH и ANB — вертикальные, а значит, равны. Поэтому:
∠ANB = ∠DNH = 59°.
Ответ: 59°.
💡 Важные выводы, которые пригодятся на экзамене
1. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°
Это свойство работает и для ромба, так как ромб — частный случай параллелограмма. В задаче оно помогло нам найти острый угол D.
2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов
Именно поэтому мы разделили 62° пополам и получили 31°. Это ключевое свойство, которое отличает ромб от обычного параллелограмма.
3. Диагонали ромба перпендикулярны
Хотя в этой задаче мы это не использовали, это свойство часто пригождается в других заданиях ОГЭ, например, при нахождении площади ромба. Держите его в памяти.
4. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°
Высота ромба всегда образует прямоугольный треугольник. Благодаря этому мы легко нашли угол DNH = 59°.
5. Вертикальные углы равны
Мы нашли угол DNH = 59°, а искомый угол ANB — вертикальный с ним. Значит, они равны. Этот простой факт часто забывают, но без него невозможно получить правильный ответ.