Как найти вероятность того, что не случится ни одно из событий?
Сегодня разбираем свежее задание из банка ФИПИ, где это нужно сделать по диаграмме Эйлера. Спойлер: ответ находится почти без вычислений! Поехали! 👇
📌 Условие задачи
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий A и B в некотором случайном опыте с равновозможными исходами. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области.
На рисунке:
● В овале A (без пересечения) — 18 исходов.
● В овале B (без пересечения) — 12 исходов.
● В пересечении овалов A и B — 6 исходов.
⊘ Вне овалов — 24 исхода.
Найдите вероятность события, противоположного событию A ∪ B
(то есть вероятность того, что не наступит ни A, ни B).
В математике противоположное событие обозначается чертой сверху — именно так, как показано на прикреплённом фото с условием задачи.
🎯 Что такое диаграмма Эйлера?
Диаграмма Эйлера — это круги (или овалы), которые показывают, как пересекаются события. Это удобный способ наглядно представить, сколько исходов относится к каждому событию.
В нашей задаче:
● A — событие, которому благоприятствуют исходы внутри овала A.
● B — событие, которому благоприятствуют исходы внутри овала B.
● A ∪ B (объединение) — исходы, которые благоприятствуют хотя бы одному из событий A или B. На диаграмме это всё, что внутри хотя бы одного овала.
● Противоположное событие — все исходы, которые не попадают в объединение A и B. На диаграмме это область вне овалов.
📥 Решение
🔹 Способ 1. Через исходы (самый наглядный)
✔️ Шаг 1. Что нам известно?
Нам известны количества исходов в каждой области диаграммы:
▪️ Внутри A, но вне B: 18
▪️ Внутри B, но вне A: 12
▪️ В пересечении A и B: 6
▪️ Вне обоих овалов: 24
✔️ Шаг 2. Что такое событие A ∪ B?
A ∪ B — это исходы, которые находятся хотя бы в одном из овалов A или B.
На диаграмме это все области, кроме той, что вне овалов.
То есть в A ∪ B входят:
▪️ исходы, которые только в A (18),
▪️ исходы, которые только в B (12),
▪️ исходы, которые в пересечении A и B (6).
✔️ Шаг 3. Что значит «противоположное событие A ∪ B»?
Противоположное событие содержит все остальные исходы, кроме тех, что входят в A ∪ B.
В нашем случае противоположное событие — это исходы вне овалов, то есть те, которые не попали ни в A, ни в B.
✔️ Шаг 4. Находим число исходов для противоположного события
Из условия: вне овалов — 24 исхода.
✔️ Шаг 5. Находим общее число исходов
Все исходы опыта — это сумма всех областей диаграммы:
▪️ 18 (только A)
▪️ 12 (только B)
▪️ 6 (A и B одновременно)
▪️ 24 (вне A и B)
Складываем:
18 + 12 + 6 + 24 = 60 исходов
✔️ Шаг 6. Вычисляем вероятность
Вероятность события равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов:
P = (число исходов вне овалов) / (общее число исходов)
Подставляем:
P = 24 / 60 = 2 / 5 = 0,4
✅ Ответ: 0,4
🔹 Способ 2. Через формулу противоположного события (быстрее)
✔️ Шаг 1. Находим вероятность события A ∪ B
Сначала найдём число исходов в A ∪ B:
▪️ 18 (только A) + 12 (только B) + 6 (пересечение) = 36 исходов
Тогда:
P(A ∪ B) = 36 / 60 = 3 / 5 = 0,6
✔️ Шаг 2. Применяем формулу
Вероятность противоположного события находится по формуле:
P(не A ∪ B) = 1 − P(A ∪ B)
Подставляем:
P = 1 − 0,6 = 0,4
✅ Ответ: 0,4
📝 Важные пояснения
🔹 Противоположное событие для A ∪ B — это исходы, которые не входят ни в A, ни в B. На диаграмме это область вне овалов.
🔹 Общее число исходов — это сумма всех областей диаграммы. Самая частая ошибка: забыть прибавить исходы вне овалов.
🔹 Второй способ гораздо быстрее, если уже известна вероятность исходного события. Достаточно просто вычесть её из 1.
🔥 Лайфхак: если в задаче спрашивают вероятность того, что не наступит ни A, ни B — это всегда область вне кругов. Просто возьмите число из этой области и разделите на общее количество исходов.
📌 Сохраняйте этот пост
Чтобы повторить перед ОГЭ все типы задач на вероятность, сохраните статью в закладки. А если хотите получать разборы свежих заданий из ФИПИ первыми — подписывайтесь на канал! 🔔
#ОГЭ2026 #НовоеЗаданиеОГЭ #МатематикаОГЭ #Вероятность #Задание10 #ДиаграммаЭйлера #ПротивоположноеСобытие #ОбъединениеСобытий #РазборЗадач #ФИПИ #ПодготовкаКОГЭ #РепетиторПоМатематике