Открытый банк ФИПИ обновился. Добавилось много новых задач.
Новые интересные задачи по неравенствам 20 номера. На первый взгляд они кажутся простыми, но именно в них кроются ловушки, на которых теряют баллы даже сильные ученики.
На что стоит обратить внимание при их решении:
⚡️ Решаем неравенства методом интервалов.
⚡️ Знаки на интервалах не всегда чередуются. Внимательно проверяем и расставляем "плюс" и "минус".
⚡️ Стоит внимательно рассмотреть интервал и учесть не только знаки, но и точки, в которых выражение равно нулю, если у исходного неравенства знак нестрогий.
Итак, в этой статье разберём три неравенства
Тип 1.
Рассмотрим решение неравенства.
Решаем методом интервалов. Приравниваем левую часть к 0 и решаем уравнение. Разложим вторую скобки по формуле разности квадратов. Отсюда получаем корни: 6, 6 и -6.
Анализируем корни.
Это самый важный момент! Корень x=6 встретился дважды. Это значит, что при переходе через эту точку на числовой прямой знак неравенства не изменится.
Отметимточки на прямой.
Так как знак неравенства нестрогий (≥), обе точки 6 и -6 будут закрашеными (входят в решение).
Проверяем знаки на интервалах.
Возьмём число из правого интервала больше 6, например 10, и подставим влевую часть неравенства для определения знака выражения. Достаточно определить знак, необязательно проводить вычисление до конца.
Видим, что получим знак минус. Ставим минус на прямой на соответствующем интервале.
Также проверяем другие два интервала.
Расставим знаки на интервалах и выбираем ответ.
Нам нужны промежутки, где выражение ≥ 0, то есть плюс и ноль.
✔️ интервал (-∞;-6] нам подходит.
✔️ в точке x=6 выражение равно нулю, что удовлетворяет условию больше или равно. Несмотря на то, что вокруг этой точки стоят минусы, саму точку мы обязаны включить в ответ.
Неравенство решено.
Тип 2
Решим данное неравенство с квадратным трехчленом методом интервалов.
Приравниваем левую часть неравенства к нулю и решаем полученное уравнение. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. То есть каждый множитель приравниваем к нулю и решаем два полученных уравнения. Первое уравнение линейное, а второе - квадратное (решаем через дискриминант).
Анализируем корни.
Снова внимательно смотрим на результат. Корень x=3 встретился дважды. Это значит, что в этой точке знак неравенства меняться не будет.
Наносим точки на прямую. Знак неравенства нестрогий (≥), поэтому обе точки -7 и 3 закрашиваем.
Расставляем знаки, подставляя любое число из интервалов.
Итак, получена прямая с решением.
Выбираем ответ.
Нам нужно найти, где выражение ≥ 0 (больше или равно нулю).
✔️ Подходит интервал, где стоит плюс: (-∞; -7].
✔️ Учитываем точку, где выражение равно нулю. Точка x=3 обязательна к включению, так как в ней левая часть неравенства равна 0.
Неравенство решено.
Тип 3
Третий тип неравенства сложнее предыдущих. Здесь сразу два квадратных трёхчлена, а значит, вероятность встретить повторяющийся корень возрастает.
Приступим к решению.
Как и ранее, решать будем методом интервалов. Приравниваем левую часть неравенства к нулю.
Далее нужно найти корни каждого квадратного трёхчлена в скобках. Можно решать привычным способом через дискриминант. А можно воспользоваться обратной теоремой Виета. Давайте попробуем вторым способом.
📎 Первое уравнение.
По теореме Виета сумма корней равна коэффициенту при x с обратным знаком, то есть -1, а произведение корней равно свободному члену, то есть -12. Получаем корни x=-4 и x=3.
📎 Второе уравнение.
Аналогично, сумма корней равна 9, а произведение 18. Получаем корни x=3 и x=6.
Найдя корни, разложим на линейные множители левую часть неравенства.
Анализируем корни.
Внимательно смотрим на все найденные корни. Корень x=3 встретился дважды. Это значит, что в этой точке знак неравенства меняться не будет.
Наносим на прямую все найденные точки: -4, 3, 6. Знак неравенства нестрогий (≥), поэтому все точки закрашиваем.
Расставляем знаки, подставляя любое число из интервалов.
Наносим на прямую знаки и выбираем ответ.
Нам нужны области, где выражение больше или равно нулю.
✔️ Подходит левый промежуток (-∞;4].
✔️ Подходит правый промежуток [6;+∞).
✔️ И снова помним про ловушку! В точке x=3 выражение равно нулю, мы обязаны включить её в ответ.
Неравенство решено.
Подводя итог, хочется напомнить: новые неравенства из банка ФИПИ требуют не автоматического чередования знаков, а вдумчивого анализа каждого корня. Помните, что «повторяющиеся» корни и изолированные точки — это те самые «ловушки», на которых чаще всего теряют баллы даже подготовленные выпускники. Всегда проверяйте знаки на интервалах прямой подстановкой чисел и будьте предельно внимательны к нестрогим знакам (≥ и ≤). Тренируйтесь на аналогичных задачах, и тогда на ОГЭ 2026 задание №20 принесет вам заслуженные два балла!
Кстати, я завела канал в мессенджере Макс. Приглашаю вас подписаться: ПОДПИСАТЬСЯ. Присоединяйтесь, буду рада видеть вас там!