Формулировка теоремы. Для квадратного уравнения
Записывать это следующими формулами.
А теперь давайте докажем эту теорему.
Мы знаем, что корень квадратного уравнения находится по формуле:
Для первого корня возьмем со знаком минус, для второго — со знаком плюс. Подставим эти значения в сумму корней.
Так как у них общий знаменатель, то мы можем записать под общей чертой дроби. Корень из дискриминанта у нас с разными знаками, поэтому в сумме даст 0.
Затем можем сократить на 2 и в итоге получим:
Теперь рассмотрим произведение.
Опять подставим значение корней, которые мы находим с помощью дискриминанта в формулу умножения корней.
Перемножим числители и знаменатели в каждой дроби друг с другом.
Обратите внимание на числитель. У нас две скобки. В первой знак минус, во второй знак плюс. Это формула сокращенного умножения – разность квадратов.
Подставим значение дискриминанта
Раскроем скобки, выполним преобразования, в итоге останется:
Что и требовалось доказать.
Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения звучит следующим образом:
Рассмотрим теорему, обратную теореме Виета.
Докажем теорему.
В условии теоремы x1+x2=- p, отсюда p=-( x1+x2). Также по условию теоремы q= x1*x2
Подставим в квадратное уравнение вместо p и q эти значения:
Раскроем скобки. Обратите внимание, что перед скобками стоит знак «минус».
Сгруппируем выражения в равенстве как указано на фото выше.
Если внимательно посмотреть на скобки, то увидим, что внутри у нас одинаковые множители, которые можем вынести за скобку.
Обратите внимание, в этом выражение появился одинаковый множитель в каждом произведении.
Это выражение мы тоже можем вынести за скобки. В итоге у нас получится произведение двух скобок. Причём оно равно 0.
В каком случае произведение равно 0?
Если либо оба умножителя равны 0, либо один из них равен 0.
Из этих равенств получаем:
Выходит, что х1 и х2 являются корнями нашего уравнения. Таким образом мы доказали теорему, обратную теореме Виета. Именно при помощи этой теоремы мы будем искать корни квадратного уравнения.
А чтобы их легко было найти, мы воспользуемся следствиями из теоремы Виета.
Рассмотрим на примерах, как пользоваться этими следствиями.
Рассмотрим первый пример.
Квадратное уравнение x²-7x+12=0. Запишем сумму и произведение корней.
Второй коэффициент равен минус 7. Подставим его в значение суммы, которое равно второму коэффициенту с противоположным знаком.
Подставим значение свободного члена в произведение.
Следствие 2 говорит о том, что если q больше 0, то корни имеют одинаковый знак.
Сумма корней равна 7, то есть числу положительному. Это значит, что оба корня положительны, либо модуль положительного корня больше модуля отрицательного. Но вот эта вторая часть, про модуль положительного больше корня модуля отрицательного, нам не нужна в данном случае, так как, по первому следствию, мы знаем, что у нас корни имеют одинаковый знак. То есть оба корня у нас будут положительны.
Нам надо подобрать такие два положительные числа, при сложении которых получается 7, а при перемножении – 12.
Несложно догадаться, что два числа:
Рассмотрим еще один пример.
Выполним те же действия, что и с первым примером.
Обратите внимание, что произведение по-прежнему положительное число, что означает, что корни имеют одинаковый знак. Сумма же корней отрицательна. , но сейчас у нас сумма равна минус 8, то есть минус p у нас меньше нуля получилось.
О чем это говорит?
Если сумма корней отрицательна, то либо оба корня отрицательны, либо модуль отрицательного больше модуля положительного. Вторая часть этого утверждения нам не подходит, так как, согласно первому следствию, мы знаем, что корни имеют одинаковый знак. А это значит, что сейчас оба отрицательны. Два числа перемножили — получили 12, а сложили — получили (-8).
Следующий пример. Рассмотрим тот случай, когда и произведение и сумма со знаком минус.
Обращаемся к следствию и делаем вывод, что теперь наши корни будут разных знаков, так как произведение корней равно (-15), что меньше 0.
Сумма корней тоже меньше нуля, а это говорит о том, что либо оба корня отрицательны, но это не подходит, так как мы уже выяснили, что они разных знаков, либо модуль отрицательного корня больше модуля положительного.
Порассуждаем: как получить (-15). Надо либо (-3) умножить на 5, либо (-5) умножить на 3. В данном случаи из следствия следует, что отрицательное число больше по модулю, то есть знак минус должен быть у числа 5.
Что произойдёт, если в нашем примере перед вторым коэффициентом изменить знак?
Корни у нас по-прежнему будут иметь разный знак, но на этот раз сумма корней положительна, а это значит, что больше модуль положительного числа, то есть знак «минус» будет у меньшего по модулю числа.
Надеюсь, что эти примеры помогли вам разобраться, как пользоваться следствиями для решения квадратных уравнений.