Продолжаем разбирать новые задачи из обновленного банка ФИПИ. Сегодня на очереди геометрическая задача №16, которая решается очень красиво, если вспомнить одно важное свойство. Никаких громоздких формул — только логика и немного теоремы Пифагора! 🔍
📌 Условие
Диагональ 𝐴𝐶 ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷 равна 36, а 𝑡𝑔∠𝐵𝐶𝐴 = 4/3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
Сразу уточню: это не единственный способ решения, а тот, который моим ученикам нравится больше всего.
Поехали! ⬇
📌 Шаг 1. Вводим обозначения и вспоминаем свойства ромба
Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD. Именно эта точка является центром окружности, вписанной в ромб.
Из свойств ромба нам понадобится только одно: диагонали точкой пересечения делятся пополам. Это позволит найти отрезок OC.
📌 Шаг 2. Вспоминаем, что такое вписанная окружность
Окружность называется вписанной в ромб, если она касается всех его сторон. Это значит, что каждая сторона ромба (в том числе и ВС) является касательной к этой окружности.
📌 Шаг 3. Строим радиус в точку касания ⚡
Вспоминаем важнейшее свойство касательной: радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
Обозначим через H точку касания вписанной окружности со стороной BC.
Проведём радиус OH в точку касания H. Получаем:
▪ OH ⟂ BC
▪ OH = r (искомый радиус)
Теперь посмотрим на треугольник OHC. Он прямоугольный, так как ∠OHC = 90°.
📌 Шаг 4. Находим OC через диагональ 💫
Нам дана диагональ AC = 36. Точка O делит её пополам, значит:
OC = AC : 2 = 36 : 2 = 18.
📌 Шаг 5. Используем определение тангенса
В треугольнике OHC ∠OCH = ∠BCA.
Вспомним определение: в прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
Для ∠OCH:
▪ Противолежащий катет — OH (это наш радиус)
▪ Прилежащий катет — HC
Записываем:
tg∠BCA = tg∠OCH = OH / HC
По условию tg∠BCA = 4/3. Значит:
OH / HC = 4/3
📌 Шаг 6. Вводим переменную и применяем теорему Пифагора 📏📐
Мы знаем, что OH / HC = 4/3. Это значит, что отрезки OH и HC относятся друг к другу как 4 : 3. Иными словами, если мысленно разбить их на одинаковые «части», то в OH поместится 4 таких части, а в HC — 3.
Обозначим размер одной части через x. Тогда:
▪ OH = 4x (это наш будущий радиус)
▪ HC = 3x
Такая запись как раз и обеспечивает нужное нам отношение 4 : 3, а значение x мы найдём из теоремы Пифагора.
Теперь запишем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника OHC:
OC² = OH² + HC²
Подставляем всё, что знаем:
18² = (4x)² + (3x)²
324 = 16x² + 9x²
324 = 25x²
x² = 324 / 25
x = √(324/25) = 18/5 = 3,6 (берём положительное значение, так как это длина).
📌 Шаг 7. Находим OH 💫
OH = 4x = 4 * 3,6 = 14,4
✅ Ответ: 14,4.
Что важно запомнить: 🎯
- Центр вписанной окружности в ромбе — это точка пересечения диагоналей.
- Сторона ромба — касательная к вписанной окружности.
- Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне (именно отсюда берётся прямой угол).
- Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам (нужно для нахождения половины диагонали).
- Определение тангенса (противолежащий катет к прилежащему) + теорема Пифагора творят чудеса!
#ОГЭ2026 #ОГЭматематика #Задание16 #Геометрия #Ромб #ВписаннаяОкружность #ТеоремаПифагора #Тангенс #РазборЗадач #ПодготовкаКОГЭ #ФИПИ #БанкФИПИ #НовыеЗаданияФИПИ #Математика #УчимсяВместе