Формулировка теоремы.
Возьмем произвольный треугольник АВС.
В любом треугольнике как минимум два угла острые. Пусть это будут углы А и В.
Чтобы нам было удобнее работать с этим треугольником повернём его так, чтобы угол С был наверху.
Из вершины С проведем высоту. Основание высоты, точка H, лежит на отрезке АВ.
По условию теоремы стороны а, b и с нам даны. Ведем эти обозначения на чертеже: напротив угла А сторона а, напротив угла В сторона b, напротив угла С сторона с. Высоту CH обозначим h.
Точка H делит сторону BA. Ведем обозначения. Отрезок BH обозначим х, а отрезок HA обозначим у.
Для доказательства теоремы нам потребуется несколько формул.
Первая — это формула площади треугольника.
Вторая формула — это формула периметра треугольника. Ещё ведём обозначение полупериметра. Очевидно, что периметр равен двум полупериметрам. Полупериметр нам нужен по условию теоремы.
Для доказательства теоремы мы будем пользоваться формулой площади, которую мы уже записали.
В этой формуле мы не знаем чему равно h. Выведем его значение через известные по условию теоремы параметры, то есть стороны и полупериметр.
Для начала рассмотрим треугольник АHС. По теореме Пифагора имеем:
Следовательно из этой формулы выводим значение h в квадрате
Теперь рассмотрим треугольник BHC. Здесь гипотенуза а. Выведем значение h для этого треугольника.
Из двух вышеуказанных равенств получим следующее:
Перенесем в левую часть нашего равенства а в квадрате c противоположным знаком, а в правую у в квадрате, также с противоположным знаком. Получим:
В правой части квадрат разности разложим на множители по формулам сокращённого умножения.
Посмотрите внимательно на наш чертеж. (у+х) – это не что иное, как сторона с. Перепишем равенство, причём поменяем местами правую и левую части.
Оставим в левой части только неизвестные х и у, для этого разделим обе части тождества на с.
Мы уже говорили о том, что у+х=с. Запишем это равенство. Оно нам поможет вывести у через известные по условию теоремы параметры.
Сложим два последних равенства
Разделим обе части полученного равенства на 2, но сначала правую часть приведем к общему знаменателю. В итоге получим:
Посмотрите, нам удалось у выразить через известные нам стороны треугольника а, b и с.
Напомню, с чего мы начинали рассуждение. Мы рассматривали треугольник AHC и вывели, чему равно h в квадрате. Вот именно в эту формулу подставим значение у. Таким образом, у нас получится выразить h через известные нам величины a, b и c. Давайте посмотрим, что же у нас получится. Акцентирую ваше внимание на то, что мы будем с вами выводить h².
Прежде чем подставлять у в нашу формулу, разложим правую часть b²-y², т.е. разность квадратов, на произведение b-y и b+y. Подставим теперь значение у в каждую из скобок.
Приведем выражение в каждой скобке к общему знаменателю. Тогда сможем уже не ставить скобки, так как у нас будет две дроби.
Замечание Почему у нас такие знаки? У нас стоял минус перед дробью, поэтому перед b квадрат будет минус, далее –a квадрат знак поменяет на противоположный и плюс c квадрат тоже поменяет знак на противоположный.
В первой дроби перенесем а² на первое место, во второй дроби на первое место перенесем с².
Выполним преобразования. У первой дроби объединим выражение плюс +2bc-b²-с². Вынесем минус за скобки, и тогда на скобках не что иное, как квадрат разности.
Вторая дробь, в числителе у нас тоже есть разность квадратов.
Посмотрите внимательно на каждую дробь. И в первой, и во второй дроби в числителе стоят квадраты разности.
Запишем всё это выражение под общей чертой дроби, для этого перемножим числители и знаменатели. Числители каждой дроби предварительно разложим по формулам сокращённого умножения для разности квадратов. Таким образом в числителе получим произведение четырех скобок.
В первой скобке раскроем маленькие скобки внутри больших. Обратите внимание, перед скобками стоит знак «минус», поэтому внутри скобок знак поменяется на противоположный.
Важный нюанс. У нас сейчас все скобки записаны так, что сначала идет сумма, а потом вычитание и только в последней скобке у нас нет вычитания.
Посмотрите, у нас уже получилось перейти только к известным нам величинам — сторонам a, b и c. Однако, по условию теоремы у нас ещё присутствует полупериметр в формуле. На примере первой скобки разберём, как перейти к полупериметру.
Т.е. мы первую скобку выразили через полупериметр и сторону b.
Аналогично поступим со всеми остальными скобками.
Перепишем нашу дробь через полученные равенства. Единственное, что 2p, которое у нас стоит в конце, перенесем в самое начало числителя. В итоге получим дробь.
У нас получится 4 двойки, произведение которых даст нам 16. Напомню, что все эти преобразования мы выполняли, чтобы найти h в квадрате. Вот запишем теперь, чему же равно h квадрат.
Сократим на число 4 числитель и знаменатель и извлечем квадратный корень.
Вынесем из-под знака корня число 4 в числителе и c² в знаменателе. В результате получим дробь, в которой знак корня останется только в числителе.
Осталось полученное значение h подставить в формулу площади треугольника.
Сократим двойки и с и получим искомую формулу.
Теорема доказана.