Кинетическая энергия (E=m·v·v/2) и импульс (P=m·v) считаются основными параметрами исчерпывающе описывающими динамику движущегося тела. В замкнутой системе при переходе импульса и энергии от одного тела к другому остается неизменной их суммарная величина, что выражается уравнениями сохранения импульса и энергии:
P1 + P2 = Pʹ1 + Pʹ2 (1)
E1 + E2 = Eʹ1 + Eʹ2 (2)
В частности, исходя из этих уравнений, подстановкой параметров из одного уравнения в другое, выводятся формулы распределения скоростей тел после их упругого или неупругого взаимодействия.
Однако даже в учебной и специальной литературе совершенно мало уделяется внимания еще одному важному принципу, на которое в свое время обратил внимание Иоганн Бернулли. Речь идет о законе сохранения скорости до и после упругого столкновения тел. Это правило можно сформулировать разными способами:
– Скорость сближения двух тел равна скорости разбега этих тел после их упругого столкновения
V1 – V2 = V'2 –V'1 (3)
где V1 и V2 – скорости тел до столкновения;
V'1 и V'2 – скорости тел после столкновения
Перегруппировав скорости в уравнении (3) получим другую формулировку закона:
– при упругом столкновении тел суммы начальной и конечной скоростей каждого тела равны между собой
V1 + V'1 = V2 + V'2 (4)
Назовем это соотношение законом сохранения дельты скоростей ΔV1,2.
Физическим основанием правила сохранения дельты скоростей является симметричность действия силы упругости (пружины или межатомных сил) при взаимодействии тел.
Изначально, когда тела начинают взаимодействовать друг с другом, сила упругости нарастает, воздействуя на тела с одинаковой силой в противоположных направлениях. При этом импульсы силы (F·t = ΔP) для каждого из тел одинаковы по модулю, но противоположны по вектору, что сохраняет общий баланс импульса в системе. Затем, после достижения точки равенства скоростей, сила упругости также продолжает действовать на оба тела, но уже убывая центрально симметрично этапу нарастания. Ветви синусоид скоростей обоих тел центрально симметричны относительно точки выравнивания скоростей, что и приводит к равенству скоростей до и после взаимодействия
Это наглядно видно из графика изменения скоростей тел, приведенном на рисунке. Графики скоростей центрально симметричны относительно точки O, соответственно, равны разности скоростей ΔV=V1 – V2 и ΔV=Vʹ2 – Vʹ1 (отрезки AB и CD)
Чем примечательно уравнение V1 – V2 = Vʹ2 – Vʹ1?
Если перемножить попарно правую и левую части уравнений сохранения импульса и уравнение скоростей (4), то получим уравнение сохранения кинетической энергии:
m1·(V1 – Vʹ1) = m2·(Vʹ2 – V2 )
*
V1 + V'1 = V'2 + V2
↓
m1·(V1 – Vʹ1) · (V1 + V'1) = m2·(Vʹ2– V2 ) · (V'2 + V2)
↓
m1·V1 ·V1 – m1· Vʹ1 ·Vʹ1 = m2·V'2· V'2 – m2·V2 ·V2
↓
Также совместное решение уравнений сохранения импульса и дельты скоростей (путем подстановки параметров из одного уравнения в другое) позволяет получить точно такие же уравнения расчета скоростей каждого тела после упругого взаимодействия как и уравнение сохранения кинетической энергии совместно с уравнением сохранения импульса.
Таким образом, уравнение V1 –V2 = Vʹ2 – Vʹ1 вполне подменяет уравнение сохранения энергии. Только особо стоит подчеркнуть, что именно подменяет, но не отменяет.
Необходимо также отметить, что не только закон сохранения относительных скоростей подменяет закон сохранения кинетической энергии, но любой из законов сохранения (импульса, кинетической энергии, относительной скорости) подменяет любой из двух других законов сохранения.
Вот как Бернулли формулирует взаимозависимость параметров, характеризующих динамику взаимодействующих тел:
"Некоторые размышления о природе указанного тройного закона заставляют нас еще заметить, что эти три закона сохранения, — а именно: 1) сохранения относительной скорости, 2) сохранения количества направления и 3) сохранения суммы произведений масс на квадраты скоростей, — так согласованы друг с другом, что, если два из них справедливы, то третий с геометрической необходимостью так же справедлив"
(И. Бернулли "Избранные сочинения по механике", издание 1937г.,гл.X,п.3)
Примечание к этой формулировке: Бернулли вместо закона сохранения импульса применяет выведенный им закон сохранения количества направления (произведение скорости общего центра тяжести на сумму масс), который, по сути, является тем же самым законом сохранения импульса, только выраженным в скалярной форме (варьируется знак в зависимости от направления)
Отметим, что принцип сохранения дельты скоростей, вероятно, является более фундаментальным, поскольку он универсален для любых систем взаимодействующих тел в любой инерциальной системе отсчета. А вот импульс и кинетическая энергия взаимодействующих тел в этой части имеют ограничения. Они имеют разные значения при переходе из одной системы отсчета в другую. А значение импульса, в дополнение к этому ограничению, не сохраняется в скалярной форме, только в векторной.
Также отметим что для вывода формул распределения скоростей тел после взаимодействия тел необязательно совместное решение именно уравнений сохранения кинетической энергии и сохранения импульса тел. Уравнение сохранения кинетической энергии вполне можно заменить уравнением сохранения разницы скоростей с тем же результатом (в статье нет этого вывода, но он достаточно тривиален). И в этом смысле формула кинетической энергии является полезной, но вполне заменимой для расчета параметров динамики взаимодействия тел.