От бассейнов Ньютона к обобщённому фракталу Ньютона.

Немного о методах Ньютона и Галлея:

Рассмотрим бассейн Ньютона для "стандартного" многочлена F(z)=z^5-1.

Знакомая картина (до 40 итераций с точностью 1e-9)

В 98.57% точек корни найдены быстро, всего в среднем за 10.7 итераций.

А теперь попробуем расширить логику вычисления бассейнов Ньютона до обобщённого фрактала Ньютона:

Обобщённый фрактал Ньютона - просто добавь постоянную a.

a=0.4-0.3i (82.32% корней за 33.7 итераций)

a=0.4+0.3i (82.32% корней за 33.7 итераций) - такие же результаты

Похоже, знак мнимой части постоянной a определяет направление закручивания бассейна.

Знак действительной части постоянной a должен быть положительным - иначе метод не находит ни одного корня и рисует чёрный экран.

Если действительная часть постоянной a меньше 1, метод как бы работает с замедлением, так как мы уменьшаем долю изменяемой части в формуле итерации.

Попробуем сделать действительную часть постоянной a больше 1 (как бы проводить итерации с избытком изменяемой части):

a=1.6+0.3i (83.64% корней за 30.3 итераций)

В целом влияние действительной и мнимой частей постоянной a такое же (см.выше).

Эффекты сходные - корни находятся медленнее (мы ведь внесли искажение в исходный метод Ньютона), но фракталы становятся красочнее.

С высоты птичьего полёта.

Схема чёрно-белая камея.

Продолжение следует (для отрицательных и дробных степеней).

Благодарю за внимание.∎