Дорогие друзья, сегодня мы раскроем секрет одного из самых красивых оптических явлений повседневной жизни — радужных переливов на поверхности компакт-диска. На первый взгляд, это просто блестящая пластина, но на самом деле — это натуральная дифракционная решётка, созданная с микронной точностью! Когда белый свет попадает на дорожки CD, он разлагается на спектр, и мы видим всю палитру цветов. Давайте разберёмся, как это работает, и решим три ключевых вопроса.
🔍 Шаг 1. Физическая модель: дифракционная решётка
Компакт-диск имеет микроскопические дорожки, расположенные с периодом d = 1,6 мкм (это расстояние между соседними бороздками). Такая структура действует как отражательная дифракционная решётка.
Условие главных максимумов для дифракционной решётки:
d · sinφ = k · λ
где:
- d — период решётки,
- φ — угол дифракции,
- k = 0, ±1, ±2, ... — порядок спектра,
- λ — длина волны света.
Белый свет содержит волны от фиолетового (λ ≈ 400 нм) до красного (λ ≈ 760 нм). Каждая длина волны отклоняется под своим углом → возникает спектр.
📐 Шаг 2. а) Максимальный порядок спектра для фиолетового света
Максимальный порядок k_max ограничен тем, что sinφ ≤ 1 (максимальный угол — 90°).
Из условия:
k · λ ≤ d → k_max = floor(d / λ)
Подставим для фиолетового света:
- d = 1,6 · 10⁻⁶ м
- λ_ф = 4,0 · 10⁻⁷ м
d / λ_ф = 1,6·10⁻⁶ / 4,0·10⁻⁷ = 4,0
Поскольку k должно быть целым и sinφ ≤ 1, то при k = 4:
sinφ = 4 · 400·10⁻⁹ / 1,6·10⁻⁶ = 1,0 → φ = 90° — ещё допустимо.
Но k = 5 дало бы sinφ = 1,25 > 1 — невозможно.
Следовательно, максимальный наблюдаемый порядок — k_max = 4.
Ответ (а): k_max = 4
📏 Шаг 3. б) Расстояние между крайними точками спектра второго порядка
Для k = 2 найдём углы дифракции для фиолетового (λ_ф = 400 нм) и красного (λ_к = 760 нм) света.
Формула:
sinφ = k · λ / d
Для фиолетового (k=2):
sinφ_ф = 2 · 4,0·10⁻⁷ / 1,6·10⁻⁶ = 8·10⁻⁷ / 1,6·10⁻⁶ = 0,5
→ φ_ф = arcsin(0,5) = 30°
Для красного:
sinφ_к = 2 · 7,6·10⁻⁷ / 1,6·10⁻⁶ = 15,2·10⁻⁷ / 1,6·10⁻⁶ = 0,95
→ φ_к = arcsin(0,95) ≈ 71,8°
Теперь найдём расстояния от центра экрана до этих максимумов.
Экран на расстоянии L = 1,2 м, поэтому:
x = L · tanφ
Для фиолетового:
x_ф = 1,2 · tan(30°) ≈ 1,2 · 0,5774 ≈ 0,693 м
Для красного:
x_к = 1,2 · tan(71,8°)
Вычислим tan(71,8°). Используем Python для точности.
Задача №468: «Радужная тайна компакт-диска: почему на нём переливаются все цвета радуги?»
Дорогие друзья, сегодня мы раскроем секрет одного из самых красивых оптических явлений повседневной жизни — радужных переливов на поверхности компакт-диска. На первый взгляд, это просто блёстки, но на самом деле — это естественный спектрометр, созданный человеческой инженерией. В основе лежит дифракция света на периодической структуре, и именно её мы будем исследовать.
🌈 Шаг 1. Почему компакт-диск «радужный»?
Поверхность CD покрыта микроскопическими дорожками, расположенными с постоянным шагом (периодом) около 1,6 мкм. Эти дорожки играют роль отражательной дифракционной решётки. Когда белый свет (состоящий из всех длин волн от ~400 нм до ~760 нм) падает на диск, каждая длина волны дифрагирует под своим углом, и на экране (или в вашем глазу) возникает спектр — разложение белого света на цвета радуги.
📐 Шаг 2. Условие главных максимумов
Для дифракционной решётки условие наблюдения главного максимума k-го порядка:
d · sinφ = k · λ
где:
- d — период решётки,
- φ — угол дифракции,
- k = 0, ±1, ±2, ... — порядок спектра,
- λ — длина волны света.
Максимально возможный порядок ограничен условием:
|sinφ| ≤ 1 → k · λ ≤ d → k_max ≤ d / λ
🔢 Шаг 3. а) Максимальный порядок для фиолетового света
Дано:
- d = 1,6 · 10⁻⁶ м
- λ_ф = 4,0 · 10⁻⁷ м
Найдём:
k_max = floor(d / λ_ф) = floor(1,6·10⁻⁶ / 4,0·10⁻⁷) = floor(4,0) = 4
Но проверим: при k = 4 → sinφ = 4 · 400·10⁻⁹ / 1,6·10⁻⁶ = 1,0 → φ = 90° — теоретически возможно, но на практике луч идёт вдоль решётки и не попадает на экран. Поэтому наблюдаемый максимум — k = 3.
Однако по строгому математическому условию k_max = 4, но физически наблюдаемый — 3. В учебных задачах обычно принимают целую часть d/λ, если sinφ ≤ 1.
Так как 4·λ = d, то sinφ = 1 — предельный случай. Считаем, что k_max = 4 допустим теоретически.
Ответ (а): k_max = 4
📏 Шаг 4. б) Расстояние между крайними точками спектра второго порядка
Для k = 2 найдём углы дифракции для фиолетового (λ_ф = 400 нм) и красного (λ_к = 760 нм) света.
Для фиолетового:
sinφ_ф = k · λ_ф / d = 2 · 4,0·10⁻⁷ / 1,6·10⁻⁶ = 0,5
→ φ_ф = arcsin(0,5) = 30°
Для красного:
sinφ_к = 2 · 7,6·10⁻⁷ / 1,6·10⁻⁶ = 1,52 / 1,6 = 0,95
→ φ_к = arcsin(0,95) ≈ 71,8°
Теперь найдём расстояния от центра (k=0) до каждой линии на экране на расстоянии L = 1,2 м:
x = L · tanφ
- x_ф = 1,2 · tan(30°) ≈ 1,2 · 0,5774 ≈ 0,693 м
- x_к = 1,2 · tan(71,8°) ≈ 1,2 · 3,042 ≈ 3,650 м (используем точное значение tan(arcsin(0,95)) = 0,95 / √(1–0,95²) ≈ 3,042)
Тогда расстояние между крайними точками:
Δx = x_к – x_ф ≈ 3,650 – 0,693 ≈ 2,957 м
Ответ (б): Δx ≈ 2,96 м
Это огромное расстояние! На практике экран редко ставят так далеко, поэтому спектры кажутся сжатыми.
🔄 Шаг 5. в) Почему спектры накладываются при k > k_max?
На самом деле, накладывание начинается раньше, чем достигается k_max для фиолетового света. Причина — разный диапазон длин волн.
Спектр k-го порядка занимает углы от φ_min(k, λ_ф) до φ_max(k, λ_к).
Спектр (k+1)-го порядка — от φ_min(k+1, λ_ф) до φ_max(k+1, λ_ф).
Если φ_min(k+1, λ_ф) < φ_max(k, λ_к), то спектры перекрываются.
Например:
- Для k = 2: красный свет (760 нм) даёт sinφ = 0,95
- Для k = 3: фиолетовый свет (400 нм) даёт sinφ = 3·0,4/1,6 = 0,75 → φ ≈ 48,6°
А φ_к(k=2) ≈ 71,8° > 48,6°, значит, спектр 3-го порядка (фиолетовый) лежит внутри 2-го порядка (красный) — происходит наложение.
В общем случае, максимальный порядок без наложения определяется из условия:
k · λ_к < (k+1) · λ_ф
Для наших данных:
k · 760 < (k+1) · 400
→ 760k < 400k + 400
→ 360k < 400
→ k < 1,11
То есть только спектр 1-го порядка не перекрывается. Уже во 2-м порядке — наложение.
Но в задаче спрашивается: почему при k > k_max (фиолет) начинается наложение? На самом деле, k_max (фиолет) = 4, а наложение начинается уже при k = 2. Возможно, в вопросе имеется в виду другое.
Более корректно: при больших k угловые расстояния между цветами увеличиваются, но поскольку диапазон λ широкий, спектры разных порядков начинают пересекаться. Особенно это заметно, когда k·λ_к > d, но это уже за пределом.
Вероятно, автор задачи имеет в виду: когда k превышает значение, при котором даже фиолетовый свет выходит за предел sinφ = 1, дальнейшие порядки невозможны, но до этого — они накладываются из-за широкого спектра.
Ответ (в): Спектры разных порядков накладываются, потому что *длинноволновая (красная) граница спектра порядка k может находиться под большим углом, чем коротковолновая (фиолетовая) граница спектра порядка (k+1). Это происходит из-за конечной ширины видимого спектра (от 400 до 760 нм). В результате на экране цвета разных порядков смешиваются, и чистое разделение невозможно.*
🌟 Физический вывод
Компакт-диск — это не просто носитель информации, а дифракционная решётка, превращающая белый свет в живую радугу. Каждый цвет отклоняется на свой угол, и чем выше порядок спектра, тем шире разбегаются цвета. Но эта красота имеет цену: спектры начинают накладываться, и радуга теряет чёткость. Так природа напоминает нам: даже в искусстве разложения света есть пределы — и они задаются простым соотношением длин волн и геометрией микроструктуры.
Представьте себе, что каждый раз, когда вы видите радужные блики на CD, вы наблюдаете живой спектральный анализ — тот же самый, что используют астрономы для изучения звёзд. Только вместо телескопа — ваш глаз, а вместо космоса — старый диск с музыкой. И в этом крошечном отражении заключена вся мощь волновой оптики: свет, рассекаемый на составляющие, как река на тысячи ручьёв. А вы думали — просто блестит…