Дорогие друзья, сегодня мы исследуем поведение кругового тока в магнитном поле — ситуацию, лежащую в основе работы электродвигателей, гальванометров и даже компасов. Наша задача: определить, при каком угле между нормалью к плоскости витка и вектором магнитной индукции B вращающий момент максимален.
📐 Шаг 1. Условие задачи
- Радиус витка: R = 5 см = 0,05 м
- Сила тока: I = 2 А
- Магнитная индукция внешнего поля: B = 0,05 Тл
- Поле — однородное
- Виток — жёсткий, круговой, один
Найти: угол θ, при котором вращающий момент M максимален.
🧲 Шаг 2. Формула вращающего момента
На замкнутый контур с током в магнитном поле действует вращающий момент, который стремится развернуть его так, чтобы магнитный момент витка выстроился по направлению поля.
Магнитный момент витка:
pₘ = I · S
где S = πR² — площадь витка.
Вектор pₘ направлен перпендикулярно плоскости витка (по правилу буравчика).
Вращающий момент определяется как:
M = pₘ × B
Модуль этого векторного произведения:
M = pₘ · B · sinθ = I · S · B · sinθ
где θ — угол между нормалью к витку (то есть вектором pₘ) и вектором B.
🔍 Шаг 3. При каком угле момент максимален?
Функция sinθ достигает максимума при:
θ = 90°
Потому что sin90° = 1 — наибольшее возможное значение.
Следовательно, вращающий момент максимален, когда нормаль к плоскости витка перпендикулярна вектору B.
А что это означает геометрически?
- Если нормаль ⊥ B, то плоскость витка параллельна вектору B.
- То есть линии магнитного поля проходят в плоскости самого витка.
Именно в этом положении силы Ампера на противоположных участках витка создают максимальное плечо рычага, и виток испытывает наибольший «поворачивающий усердие».
🧪 Шаг 4. Численная оценка (для полноты)
Хотя в задаче не требуется находить сам момент, посчитаем его для интереса:
- Площадь: S = πR² = π · (0,05)² ≈ 3,1416 · 0,0025 ≈ 0,00785 м²
- Магнитный момент: pₘ = I · S = 2 · 0,00785 ≈ 0,0157 А·м²
- Максимальный момент: Mₘₐₓ = pₘ · B = 0,0157 · 0,05 ≈ 7,85 · 10⁻⁴ Н·м
Это небольшой момент, но достаточный, чтобы повернуть лёгкую рамку в гальванометре.
⚠️ Шаг 5. Особые положения
- При θ = 0° (нормаль || B, плоскость ⊥ B):
→ sin0° = 0 → M = 0 — устойчивое равновесие (виток «смотрит» вдоль поля). - При θ = 180°:
→ M = 0, но это неустойчивое равновесие — малейшее отклонение вызовет поворот к θ = 0°. - При θ = 90°:
→ M = Mₘₐₓ — максимальное стремление к повороту.
🌟 Физический вывод
Максимум вращающего момента достигается, когда плоскость витка параллельна магнитному полю, то есть когда нормаль к витку перпендикулярна B. Это аналогично тому, как дверь легче всего открыть, толкая её у ручки, а не у петель: чем больше плечо силы, тем эффективнее момент. В магнитном поле «плечо» максимально, когда силы на проводник действуют под прямым углом к радиусу вращения — а это происходит именно при θ = 90°.
Представьте себе виток как дверь, а магнитное поле — как невидимого помощника, который пытается её повернуть. Если дверь уже открыта (её плоскость параллельна направлению «толчка»), помощник может упереться в неё всей силой и легко провернуть. Но если дверь закрыта (её край смотрит на помощника), он просто упрётся в петли — и ничего не сдвинется. Так и с витком: магнитное поле «толкает» его наиболее эффективно, когда у него есть место для манёвра — и этот момент наступает под прямым углом.