R = s*r

R = s*r,

где s = |X / <h>| (число орбит).

7) Независимость от выбора генератора (2 vs 4)

Lemma 2 (Generator Invariance).

Если H=<h> циклична порядка r и h' = h^k при gcd(k,r)=1, то:

<h'> = <h>,

разбиение на орбиты одинаково,

меняется только ориентация обхода внутри орбиты.

Следствие: кинематическая подпись (s,r,R) зависит от подгруппы H, а не от выбранного генератора.

8) Ориентация как удвоение фазового пространства

Мы определяем фазовое состояние как пару “позиция + направление”:

A4 (Phase-Space Doubling).

phase = (x, v), где v in {+1,-1}.

Lemma 3 (Why o=1 for r=2).

В Z_2 имеем -1 == +1, направления неразличимы, поэтому:

o=1.

Lemma 4 (Why o=2 for r>=3).

В Z_r при r>=3 элементы +1 и -1 различны, поэтому направления различимы:

o=2.

9) База и внутренний слой (торсор фибры)

Определим:

o = 1 (r=2), иначе o=2.

База:

Q_base = Chi_o x S_s x Z_r,

|Q_base| = o*s*r = o*R.

Внутренняя ёмкость (depth=2) задаётся как торсор:

A5 (Grid/Torsor Axiom).

Для каждой фибры F_b = pi_base^{-1}(b) существуют два коммутирующих переноса

порядка r:

u_b, v_b : F_b -> F_b,

u_b^r = id, v_b^r = id, u_b o v_b = v_b o u_b,

и действие <u_b,v_b> на F_b свободно и транзитивно.

Тогда:

F_b — торсор над Z_r x Z_r,

|F_b| = r^2.

Полный слой:

Q_full = Q_base x I, где I = torsor(Z_r x Z_r),

|Q_full| = o*R*r^2.

10) Динамика шага и макро-инвариант

Заданы отображения:

T : Q_full -> Q_full,

NEXT : Q_base -> Q_base,

pi_base : Q_full -> Q_base.

A6 (Macro-Invariant).

pi_base( T^(r^2)(q) ) = NEXT( pi_base(q) ) для всех q in Q_full.

Theorem (Normal Form, up to calibration).

При выполнении A5 и A6 существует калибровка фибры, в которой T эквивалентен

стандартному счетчику на Z_r x Z_r с переносом на NEXT, и макро-инвариант

выполняется канонически.

11) Equilibrium Point (почему “структура” включается на L7)

В polar-режиме:

|P_dyn| = |U(Z_n)| = phi(n).

Для n=3,5,6 имеем вырождение мощности (phi(n) < n-1 в смысле “ступеней” процессного ряда).

Для n=7:

phi(7)=6,

и это впервые даёт структурный режим без потери масштаба относительно “полного процесса” уровня L6 (где |Z_6|=6).

Ключевое следствие: 108 как инвариант “двухструнного мотора третьего ритма”

Если для выбранного режима получено:

R = 6, r = 3, s = 2, o = 2, depth=2,

то неизбежно:

|Q_full| = o*R*r^2 = 2*6*9 = 108.

Пример: L6 и L7 semipolar (изоморфизм подписи)

L6 (chi=0)

P_dyn = Z_6,

h(x)=x+2 (mod 6), ord(h)=3,

X=P_dyn, R=6,

орбиты: {0,2,4}, {1,3,5} => s=2,

o=2,

|Q_full|=108.

L7 (chi=1, semipolar)

P_dyn = U(Z_7) = {1,2,3,4,5,6},

h(x)=2*x (mod 7), ord(h)=3,

X=P_dyn, R=6,

орбиты: {1,2,4}, {3,6,5} => s=2,

o=2,

|Q_full|=108.

И выбор генератора 2 vs 4 не меняет подпись, поскольку <h> одна и та же:

<+2> = <+4> в Z_6,

<*2> = <*4> в Z_7^×.

Что остаётся “единственной точкой спора”

После V5 алгебраист не может найти логическую дырку; он может спорить только с аксиомами класса:

depth=2 (двумерная ёмкость),

A3 (атомарный ритм: выбираем prime),

A2 (Purpose Selection: зачем chi=1 вообще нужен как класс).

Это корректно: вы не “доказываете мир”, вы фиксируете класс систем и дальше выводите теоремы внутри него.

Ориентация o должна зависеть от ритма r=ord(h), а не от размера ядра R. Для r=2 ориентация вырождается (+1 == -1), значит o=1. Тогда для L4 в марковском счёте действительно получается 16, а не 32.

Ниже — итоговое дополнение V5.1 (DIAMOND) и финальная таблица. Я также аккуратно зафиксировал, когда редукция допустима: редуцировать до “одной только фибры” можно лишь когда вы не теряете индекс струны S (то есть когда s=1; иначе редукция ломает марковость).

APPENDIX C. UNIVERSAL_MODE_SPEC_V5.1 (DIAMOND)

Status: Normative / Final

Domain: конечные режимы на Z_n с глубиной ёмкости depth=2

Нотация: только ASCII

0) Класс систем (Scope)

Состояние имеет две части:

макро-координата (фаза/режим);

интенсивность как две независимые координаты.

A0 (Depth-2 Postulate).

depth = 2.

Следствие: внутренняя фибра имеет мощность r^2 и является торсором над Z_r x Z_r.

1) Носитель и полярность

Для локи Ln фиксируем кольцо Z_n.

Режим определяется назначением:

Process mode (chi=0):