Свойства арифметического квадратного корня - это правила, которые позволяют упрощать огромные выражения и решать уравнения. Давай разберем их подробно.
1. Корень из произведения. Корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел.
√(a ·b) = √(a) ·√(b)
Пример: √(81 ·100) = √(81) ·√(100) = 9 ·10 = 90.
Зачем это нужно: позволяет разбивать большие числа под корнем на удобные множители.
2. Корень из дроби (частного). Корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.
√(a/b) = √(a)/√(b), где a ≥0, b > 0
Пример: √(25/144) = √(25)/√(144) = 5/12.
3. Корень из степени (Квадрат корня). Если мы возводим корень из неотрицательного числа в квадрат, мы получаем само это число.
(√a)² = a где a ≥0
Пример: (√17)² = 17.
4. Корень из квадрата (Модуль). Это свойство — самая частая причина ошибок на экзаменах. Если квадрат стоит под корнем, результатом будет модуль числа.
√(a²) = |a|
Пример: √((-5)²) = |-5| = 5.
- Если число a < 0, то a² > 0, и √(a²) = -a = |a|.
- Если a ≥ 0, то √(a²) = a
Почему это важно: Корень не может вернуть отрицательное число, поэтому квадрат «съедает» минус, а корень выдает только положительный результат.
5. Возведение корня в степень. Чтобы возвести корень в степень, можно возвести в эту степень число под корнем.
6. Сравнение корней
Если a > b ≥0, то и √(a) > √(b).
Пример: √(25) > √(16), так как 5 > 4. Это свойство используется для оценки иррациональных чисел.