Представьте, что вы заказываете плитку для ванной. Размер стены — ровно 258 см в высоту и 180 см в ширину. Вы хотите уложить плитку самого большого размера, чтобы не резать её и минимизировать швы. Какой максимальный размер квадратной плитки подойдёт?
Для решения задачи требуется найти самое большое число, которое делит два других. Первое, что приходит в голову — разложить их на множители.
Это работает, но становится невыносимо долгим для больших чисел. Но есть другой путь, известный ещё со времен Древней Греции: простой, элегантный и не требующий никакой факторизации. А именно - Алгоритм Евклида.
Алгоритм Евклида — это не столько про вычисление НОД, сколько про строгую индуктивную идею, которая показывает, как сложную задачу можно сводить к более простой, пока она не решится сама собой.
Часть 1: Проблема общей меры и тупик прямого пути
Задача: Пусть у нас есть два целых числа: a = 1512 и b = 792. Нам нужно найти их наибольший общий делитель (НОД) — самое большое целое число, на которое делятся и a, и b без остатка.
Прямой подход (разложение на простые множители):
Давайте пойдём очевидным путём: разложим оба числа на простые множители.
- 1512 = 2³ × 3³ × 7
- 792 = 2³ × 3² × 11
Чтобы найти НОД, мы берём каждый простой множитель в минимальной степени, с которой он входит в оба разложения:
- 2³ (из обоих)
- 3² (минимальная степень: тройка в степени 2 из числа 792)
- 7 и 11 — не являются общими, поэтому не берутся.
Перемножаем: НОД(1512, 792) = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72.
Почему этот путь — тупик для алгоритмов?
Метод работает, но он неэффективен в своей основе. Чтобы разложить число на множители, нам нужно перебирать делители, а для больших чисел (например, из 200 цифр) эта задача вычислительно невыполнима за разумное время даже для мощных компьютеров. Факторизация — это «тяжёлая» операция.
Ключевой вопрос: Существует ли способ найти НОД, не прибегая к трудоёмкой факторизации? Можно ли найти общую меру, используя только элементарные операции: деление с остатком?
Часть 2: Алгоритм Евклида
Базовое наблюдение: НОД(a, b) = НОД(a-b,b) = НОД(b,r)
Заметим, что любое число, делящее и a, и b, должно делить и их разность, и любую их линейную комбинацию. В частности, если мы разделим a на b с остатком: a = b·q + r, то любой общий делитель a и b также делит остаток r = a - b·q. При такой процедуре последовательность остатков уменьшается, поэтому мы придем в базовый случай НОД(n,0) = n.
Это наблюдение приводит нас к гениальной и простой идее, которая позволяет заменить сложную задачу факторизации на последовательность быстрых делений.
НОД(72, 60) = НОД(60, 12) = НОД(12, 0)=12
НОД(1512, 792) = НОД(792, 720) = НОД(720, 72) = 72
Привожу пример, реализации на питоне наблюдения выше, рекурсивные реализации мне нравятся больше всего:
Алгоритм Евклида имеет геометрическую интерпретацию:
Возьмём прямоугольник m×n клеточек и будем раз за разом отрезать
по клеточкам от него квадрат с максимально возможной стороной. В итоге получится квадрат со стороной НОД(m,n).
Одно из ключевых следствий алгоритма Евклида — тождество Безу
Теорема (тождество Безу):
Для любых целых a, b существуют такие целые числа x и y, что:
a·x + b·y = НОД(a, b)
Доказательство можно провести по индукции: проверяем что все что мы получаем в процессе алгоритма линейно выражается через a и b, но в конце мы приходим к НОД!
Давайте сразу посмотрим на одно красивое следствие:
Следствие:
Пусть НОД(a,b) = 1, тогда линейное диофантово уравнение, т.е. уравнение в целых числах
a·x + b·y = n
имеет решение для любого n.
Действительно, т.к. НОД(a,b) = 1, то найдутся p, q, такие что a·p + b·q = 1, осталось умножить тождество на n.
Часть 3: Евклидовы кольца. Когда идея перестаёт быть только о числах?
Обобщение: Математики заметили, что суть алгоритма — не в целых числах, а в структуре, допускающей деление с остатком и «уменьшение» некоторой нормы.
Определение: Множество с операциями сложения и умножения называется евклидовым кольцом, если для его элементов определена норма (натуральное число или 0) и верно: для любых элементов a и b ≠ 0 существуют q и r такие, что a = b·q + r, где норма r меньше нормы b или r = 0.
Примеры:
- ℤ (целые числа) — норма |n|. Это исходный пример.
- K[x] (многочлены над полем) — норма = степень многочлена.
- ℤ[i] (гауссовы целые числа) — норма = a² + b².
Во всех этих структурах алгоритм Евклида работает дословно, а значит, для них определен НОД.
Заключение и задачки: Элегантность простых идей
Алгоритм Евклида — это больше, чем способ найти число. Это демонстрация мощной мыслительной стратегии: сведение сложной задачи к последовательности простых, повторяющихся шагов, пока решение не станет очевидным.
Мы начали с практической проблемы — поиска максимального размера плитки — и увидели, что прямое решение через разложение на множители работает, но не масштабируется. Алгоритм Евклида предлагает иную логику: не разбирать числа на «атомы» (множители), а последовательно снимать с них «слои» с помощью деления с остатком. Каждый шаг уменьшает проблему, сохраняя её суть, пока она не сведётся к тривиальному случаю.
Эта идея оказалась настолько фундаментальной, что пережила тысячелетия. Она лежит в основе не только школьной арифметики, но и современных вычислительных систем. И в этом её главная красота: глубокое, универсальное решение часто рождается из простого и ясного принципа, а не из сложных вычислений.
Предлагаю решить задачки и обсудить в комментариях:
👉 Подписаться на Telegram-канал
1. С помощью алгоритма Евклида найдите НОД: 1) (54,33); 2) (2026, 4054)
2. Найдите а) НОД(2n, 2n+2), b) НОД(2n+13, n+7)
3. У доктора Пилюлькина есть двухчашечные весы, гирьки 2020 г и 73 г, много песка и много терпения. Докажите, что он сможет отмерить на этих весах 49 г ценного лекарства.
#математика
#образование
#саморазвитие
#интеллект
#логика
#мышление
#развитиемышления
#наука