В данном случае имеется в виду площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними. Сначала докажем эту теорему, а потом теорему синусов, потому что она ссылается на теорему о площади треугольника.
На самом деле нам не принципиально, какие именно две стороны мы возьмем. Важно, чтобы нам по условию были даны именно эти две стороны и угол между ними.
Пусть есть какой-то произвольный треугольник ABC. Сторону BC, которая лежит напротив угла А, обозначим буквой a, сторону AC, которая лежит напротив угла В, обозначим буквой b, а в сторону AB, которая лежит напротив угла С, обозначим буквой c.
Ведем систему координат с началом в точке С, так, чтобы точка B лежала на положительной полуоси х, а точка A имела положительную ординату. В этом случае точка А имеет координаты:
Из вершины А опустим высоту на сторону ВС, которую мы обозначили а. Высоту обозначим буквой h.
Теперь мы можем найти площадь треугольника АВС.
Обратите внимание, что длина высоты h – это ни что иное, как ордината точки А.
Подставим это значение в нашу формулу площади и получим:
Теорема доказана.
Перейдем к теореме синусов.
Для доказательства теоремы мы воспользуемся формулой площади треугольника, при этом запишем ее через разные стороны и углы. Для начала возьмем ту формулу, которое мы уже доказали.
Обратите внимание, на чертеже сейчас выделены красным те стороны и угол, которые мы использовали в этой формуле.
Теперь запишем формулу треугольника через стороны b, c и синус угла А, который находится между ними
Затем через стороны c и а и синус угла В, который между этими сторонами.
Уберем значок площади, он больше не нужен, и посмотрим на равенство, которое у нас получилось.
Для начала мы уберем 1/2, то есть умножим на 2 все части равенства.
Далее попарно будем использовать тождество из нашего равенства. Возьмем первую часть
Перепишем ее, при этом сразу же разделим на b.
Теперь обе части нашего равенства мы можем разделить на синус С умноженное на синус А. Получим тождество:
Обратите внимание, это уже часть из нашей теоремы, из того равенства, которое мы собираемся доказать.
Рассмотрим вторую часть нашего равенства и выполним те же самые действия, только здесь мы разделим на общий множитель с в правой и левой части, и получим тождество:
Обе части разделим на произведение синус угла А на синус угла В.
Вернемся к нашему первому равенству и приравняем их.
Теорема доказана.