Есть математика вычислений — с интегралами и формулами. А есть математика идей — где решение скрыто не в числах, а в логике. Сегодня мы разберём несколько задач про чётность, где главный инструмент — не калькулятор, а простая идея: чётное число можно разбить на пары, нечётное — нельзя. Готовы?
Идея №1: Чётность
Чётность (чётное/нечётное) — это не просто свойство числа. Это бинарный флаг, который очень чутко реагирует на базовые операции.
- Золотые правила:
- Чётное ± Чётное = Чётное
- Нечётное ± Нечётное = Чётное
- Чётное ± Нечётное = Нечётное
- В произведении достаточно одного чётного множителя, чтобы результат был чётным.
- Важный факт: сумма четного числа нечетных чисел - четна. Действительно, т.к. их четное количество разобьем их на пары, в каждой паре сумма четна и получаем сумму четных чисел.
Идея №2: Инвариант
Инвариант — это величина, которая не меняется при разрешённых в задаче операциях, сколько бы вы их ни совершали.
- Как его искать? Спросите себя: «А что остаётся постоянным, пока всё вокруг меняется? Часто это бывает остаток от деления (на 2 — та же чётность!), сумма, произведение, четность перестановки или более сложные конструкции.
1. Лера нарисовала на доске семь котиков. Потом в аудиторию пришли 33 школьника. Каждый из них или стёр одного котика, или дорисовал нового. Могло ли в конце остаться три котика?
Решение: в начальный момент времени на доске было нечетное количество котиков. Каждое действие школьника меняет четность на противоположную.
Получается после нечетного количества действий на доске останется четное число котиков.
2. Может ли сумма трёх целых чисел быть чётной, а произведение тех же трёх целых чисел — нечётным?
Решение: если произведение трех чисел нечетно, то каждое из них нечетно. Ну а сумма, нечетного числа нечетных - нечетна.
Противоречие.
3. На доске написано 1012 плюсов и 1013 минусов. За один ход разрешается стереть любые два знака и написать вместо них плюс (если они одинаковы) или минус (если они различны). Какой знак останется на доске через 2024 хода?
Заметим, что каждый ход по одному знаку пропадает, поэтому за 2024 хода процесс должен завершиться.
Давайте внимательнее рассмотрим различные варианты процесса:
1) Стираем два знака плюс -> кол-во плюсов = 1011, кол-во минусов = 1013
2) Стираем два знака минус-> кол-во плюсов = 1013, кол-во минусов = 1011
3) Стираем разные знаки-> кол-во плюсов = 1011, кол-во минусов = 1013
Заметим, что количество минусов либо не меняется либо уменьшается на два, и так как оно нечетно, то не может обнулится - четность это инвариант. Следовательно, на доске останется минус.
Обратим внимание на то, что четность числа плюсов изменилась, поэтому это не инвариант, в данном случае.
- Прием с четностью используется при доказательстве следствия из Леммы о рукопожатиях: количество вершин с нечётной степенью — всегда чётно. Это прямое и самое наглядное применение. В любом графе (набор точек-вершин, соединённых линиями-рёбрами) сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер (потому что каждое ребро даёт вклад 1 в степени двух вершин). deg(v₁) + deg(v₂) + ... = 2|E| (чётное число).
- Арифметика по модулю 2 (Математика поля Z₂). Здесь наша идея становится не просто наблюдением, а законом алгебры. Z₂ — это множество из двух элементов: 0 (чётные) и 1 (нечётные), где сложение и умножение определены по модулю 2.
Заключение:
Простой факт о чётности суммы — это вершина айсберга. Он учит нас искать бинарные инварианты (чётность, раскраска в два цвета, сравнение по модулю 2) и анализировать их сохранение или изменение.
Предлагаю решить задачки и обсудить в комментариях:
1. Можно ли разменять 100 фертингов монетами по 1, 3, 5 и 25 фертингов так, чтобы всего оказалось 33 монеты?
2. На окружности отметили 2025 точек, каждая из которых покрашена в один из двух цветов. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, стоящие рядом.
3. В каждой клетке таблицы 2025на2025 написано целое число.
Оказалось, что сумма чисел в каждой строке нечётна. Докажите, что сумма чисел в каком-то столбце таблицы также нечётна.
👉 Подписаться на Telegram-канал
#математика
#образование
#саморазвитие
#интеллект
#логика
#мышление
#развитиемышления
#наука