вторая физ модель индукции - "теория плоской земли"
поскольку мы изучаем физический смысл индукции, и нам нужны не только итоговые расчетные выводы, будет интересно рассмотреть несколько физических моделей индукции, хороших и не очень хороших
напомним что первая физ модель индукции это "простая теория компенсации вихревых полей", где ЭДС любой индукции возникала так чтобы компенсировать изменения магнитного потока в контуре
.
отметим некоторые проблемы которые не объясняет или плохо объясняет наша предыдущая физ модель описания индукции :
- почему происходит самоиндукция при КЗ во вторичном контуре если уже ток индукции уравновешивает поток (парадокс "баланс электрического вихря");
- почему происходит трансформация постоянной составляющей тока если для трансформации всегда потребно изменение магнитного потока (парадокс "трансформация постоянного тока");
- каково снижение индукции магнитного поля в катушке при росте тока во вторичной обмотке (парадокс "насыщения ферромагнетика");
- почему влияние замкнутой вторичной обмотки имеет приоритет над влиянием самоиндукции первичной обмотки (парадокс "насыщения ферромагнетика");
- какова величина индукционного тока замкнутого "идеального контура" без индуктивности рассеяния в зависимости от изменения магнитного потока;
и на эти вопросы тем более не сможет ответить средний школьник после успешной сдачи экзамена по физике работы индукции, у которого нет даже нашей предыдущей физ модели описания индукции и который иногда даже верит что ЭДС в катушке индуктивности создает сила Кулона
для решения этих проблем нам придется внести некоторые модификации в нашу физ модель индукции
рассмотрим более "тонкую структуру" потока связанного с контуром, т.е. поток связанный с контуром мы будем представлять как сумму из нескольких "подпотоков"; и тут же у нас вылезают проблемы от изучения которых мы пытались уклониться в предыдущей более простой модели:
- а как пространственно должны располагаться эти подпотоки на контуре и вокруг контура;
- можно ли рассматривать эти подпотоки независимо друг от друга (ассоциативность, коммутативность);
- как закон электромагнитной индукции для общего потока распространяется на эти подпотоки;
- какова индуктивность каждого из подпотоков если известна индуктивность всего контура;
- какова эквивалентная схема контура с несколькими подпотоками;
и т.п.
.
мы упростим себе задачу деления на подпотоки, поскольку нас интересует не произвольное разделение на подпотоки, а мы всегда будем делить общий поток каждого контура только на два подпотока: "поток общий для двух контуров" (M) и "поток рассеяния" (Ls)
"поток рассеяния" появляется всегда, когда два магнитно связанных контура это физически разные контуры не совпадающие в пространстве, от этого несовпадения часть линий магнитного потока каждого контура не пересекает другой контур и создает "поток рассеяния"; и даже для идеальных индуктивностей происходит все то же самое
интересно что "подпоток" это не всегда часть контура (часть витков катушки) но всегда часть линий магнитного потока, т.е. несколько подпотоков могут пересекаться между собой по всей длине контура (весь ток контура будет общий для обоих потоков), но при этом это будут разные подпотоки потому что в них входят разные силовые линии магнитного потока
"поток рассеяния" проявляет себя в контуре только как ЭДС самоиндукции на протекающий в контуре ток, и протекающий в контуре ток не создает ЭДС индукции в соседнем контуре, а ток протекающий в соседнем контуре не создает на этом потоке рассеяния ЭДС индукции
это значит что если "общий поток" в контуре по каким то причинам потеряет индуктивность M и станет вести себя как кусок провода без индуктивности, то ток в контуре будет ограничен только индуктивностью "потока рассеяния" Ls
и еще если "общий поток" в контуре по каким то причинам потеряет связь с другим контуром, то "общий поток" станет вести себя тоже как "поток рассеяния", и ток в контуре будет ограничен суммой индуктивности "общего потока" M и индуктивности "потока рассеяния" Ls
поэтому самая простая эквивалентная схема двух магнитно связанных контуров это последовательное соединение двух идеальных индуктивностей "L1 = Ls1 + M1" в первичной цепи и двух идеальных индуктивностей "L2 = Ls2 + M2" во вторичной цепи, а индуктивности M1 и M2 создадут "идеальный трансформатор"
"идеальный трансформатор" в случае КЗ во вторичной обмотке создаст во вторичной обмотке бесконечно большой ток и трансформирует этот бесконечно большой ток в первичную обмотку, никакой парадоксальной самоиндукции во вторичной обмотке от протекающего тока не возникает
но нам при расчетах не удобно работать с бесконечными токами в модели "идеального трансформатора", нам удобнее ограничивать токи на индуктивности рассеяния каждого контура, и индуктивность рассеяния присутствует в любом даже идеальном магнитно связанном контуре имеющем физическую реализацию ("идеальный трансформатор" не может быть реализован физически, он требует чтобы обе обмотки были одним и тем же контуром)
таким образом "парадокс баланса электрического вихря" разрешается в новой модели тем, что действительно в пределах индуктивности M2 ток индукции полностью компенсирует внешнее поле и никакой парадоксальной самоиндукции на M2 от протекающего по M2 тока не возникает, а самоиндукция возникает только на индуктивности рассеяния Ls2
и для объяснения наблюдаемой самоиндукции при КЗ во втором контуре нам надо от модели "идеального трансформатора" перейти к модели с "индуктивностью рассеяния" не применяя для объяснения эффект "баланса электрического вихря"
также в старой модели мы некорректно применяли величину L2 заместо величины Ls2 в качестве индуктивности ограничения тока КЗ во втором контуре
.
короткое замыкание "контура из идеального проводника"
ранее замыкая "контур из идеального проводника" мы сказали что ток в таком контуре будет сохраняться вечно (что индукция сохраняет ток как конденсатор сохраняет напряжение)
однако явление когда "идеальный замкнутый контур" сохраняет постоянный ток это не свойство индуктивности, а это скорее свойство "сверхпроводимости" того провода из которого создан "идеальный замкнутый контур" (у такого провода нет омического сопротивления и нет потерь энергии на тепло)
"индуктивность" просто не мешает такому току течь, но и кусок провода с нулевой индуктивностью также не помешает такому току течь, т.е. "индуктивность" вступит в дело только тогда, когда в контуре постоянный ток любой величины (нулевой или не нулевой) попытается менять свою величину и только тогда будет важно в индуктивности или в куске провода с нулевой индуктивностью будет меняться этот ток
это значит что, в отличие от конденсатора, "индуктивность" проявляет себя только в "динамике", в "статике" индуктивность никак на окружающее не влияет и ничего в себе не накапливает, и возможно с этим динамическим характером индуктивности как то связано и то, что вихревое электромагнитное поле не имеет "электромагнитных зарядов" (только у электростатического поля есть электрические заряды)
.
падение напряженности поля в катушке при токе во вторичном контуре (парадокс "насыщения ферромагнетика")
аналогично рассуждениям о замыкании "идеального контура", можно предположить что падение напряженности поля в сердечнике из ферромагнетика при появлении тока во вторичном контуре это не свойство индуктивности, а скорее свойство самого ферромагнетика (и такого эффекта "кажущегося ослабления напряженности поля катушки" не будет с сердечником иного типа), потому что:
- для ферромагнетика требуется ощутимая работа магнитного поля для перестройке доменов для усиления поля, т.е. ферромагнетик обладает неким "магнитным сопротивлением";
- с другой стороны свойство "сверхпроводимости" того провода из которого создан второй "идеальный замкнутый контур" позволяет полю создавать ток индукции почти без сопротивления;
т.е. вероятно исходное магнитное поле первого контура сильнее проявляет себя там где магнитное сопротивление ему минимально и полностью выражает себя как ток во втором контуре (ситуация аналогична параллельному включению двух резисторов с различным сопротивлением - наибольший ток возникнет в резисторе с самым малым сопротивлением)
иначе трудно объяснить почему эффект "индукции" сильнее эффекта "самоиндукции" и почему предпочтение отдается созданию тока во втором контуре а не перестройке магнитных доменов сердечника контура
.
давайте прямо распишем токи и напряжения, что появляются в математической модели для второй физ модель индукции (математическая модель берется из предыдущей физ модели)
в первом контуре у нас активируются все четыре компонента возникающих на индуктивностях ЭДС:
- внешний "эквивалентный генератор" U1 с внутренним сопротивлением R1, создает исходный ток dI1/dt;
- самоиндукция рассеяния на Ls1 от dI1/dt;
- самоиндукция общего потока первого контура на M1 от dI1/dt;
- обратная индукция общего потока от второго контура на M1 от dI2/dt;
U1 = Ls1*dI1/dt + M1*dI1/dt - M1*dI2/dt
слагаемые (M1*dI1/dt - M1*dI2/dt) показывают суммарный результат действия ("остаток") самоиндукции и обратной индукции на M1 поток первого контура, т.е. в терминах "вихрей" это будет:
"исходный поток U1" - "остаток * действие_самоиндукции" + "остаток * действие_обратной_индукции" = "остаток";
"исходный поток U1" / ("действие_самоиндукции - действие_обратной_индукции + 1") = "остаток";
во втором контуре у нас активируются только два компонента возникающих на индуктивностях ЭДС:
- внешний генератор равен нулю;
- самоиндукция рассеяния на Ls2 от dI2/dt;
- прямая индукция общего потока от первого контура на M2 от dI1/dt;
0 = Ls2*dI2/dt - M2*dI1/dt
слагаемое (M2*dI1/dt) показывает результат действия ("остаток") индукции от dI1/dt на M2 поток второго контура, а самоиндукция на M2 потоке отсутствует (потому что ток индукции на M2 потоке во втором контуре полностью выполняет компенсацию изменения поля на M2 потоке от индукции от dI1/dt)
два уравнения и два неизвестных тока I1 и I2, все разрешимо
третья физ модель индукции - "теория круглой земли"
ну а теперь, несмотря на все козни и сопротивление идолопоклонников, нам надо совершить научный подвиг и провозгласить "круглость земли" (ну и "то что она все же вертится"), т.е надо рассмотреть улучшенную физическую модель индукции
.
что у нас получилось в итоге предыдущей теории?
отличная получилась теория (даже уже две физ модели теории) для индуктивности: физически обоснована, простая математическая модель, и т.п.
но есть одно но: расчеты по такой теории плохо совпадают с экспериментальными наблюдениями на эмуляторе трансформатора или на реальном трансформаторе
причем коварство оказалось в том, что проведя только несколько экспериментальных измерений (сделав непредставительную выборку экспериментов) мы получили почти правильные значения почти совпадающие с расчетами по нашей модели (в пределах ошибок задания параметров и ошибок измерений)
и лишь большее количество новых измерений показали существенные несовпадения эксперимента и расчетов по нашей модели, что же делать?
.
функция, которая связывает ток в первом контуре и индуктивность второго контура для вычисления ЭДС индукции во втором контуре, может иметь какой угодно произвольный вид: линейный (что мы взяли во второй модели), квадратичный, логарифмический и т.п. Как найти эту реальную функцию из экспериментальных наблюдений за током и напряжением в контурах?
в нашем случае мы можем подсмотреть то что делают с катушкой другие исследователи: и в целом другие утверждают "единственность" индуктивности общего потока M, а в нашей второй модели индуктивности общего потока M1 и M2 разные (в зависимости от того какой контур приемник индукции)
предыдущий КЗ второго контура примет вид
U1 = Ls1*dI1/dt + M1*dI1/dt - M*dI2/dt
0 = Ls2*dI2/dt - M*dI1/dt
с высоты знаний о теории "единственности" индуктивности общего потока M, мы можем сказать что в нашей второй модели была следующая ошибка:
- одинаковой величины ток dI/dt текущий непосредственно через контур M2;
- и одинаковой величины ток dI/dt текущий где то далеко от контура M2 (например непосредственно через контур M1);
в обоих случаях давал на контуре M2 одинаковую величину ЭДС самоиндукции или индукции
это физически труднообъяснимое требование к независимому от расстояния действию тока на интенсивность магнитного потока и есть та проблема которую мы не заметили (и которая не позволяет иметь "линейную" зависимость для тока dI1/dt и M2 при вычислении ЭДС индукции на контуре M2)
с высоты знаний о теории "единственности" индуктивности общего потока M, мы можем вычислить, решая для идеального трансформатора с контурами M1:M2 систему наших двух уравнений для dI1/dt и dI2/dt и подставив M заместо M1 и M2 в местах для взаимной индукции, что "M = sqrt(M1*M2)"
U1 = n*U2
холостой ход второго контура
U1 = M1*dI1/dt
U2 = M*dI1/dt
n*M = M1
холостой ход первого контура (подача U2 заместо U1)
U1 = M*dI2/dt
U2 = M2*dI2/dt
n*M2 = M
n = M1/M; M1*M2 = M^2;
M = sqrt(M1*M2)
и что же значит величина этого квадратного корня "sqrt" из произведения "M1*M2" по сравнению с величинами M1 и M2?
из выражения типа "(M1 - M2)^2 >= 0" (квадрат всегда неотрицательный) мы можем получить "sqrt(M1*M2) <= (M1 + M2)/2", т.е. ток текущий где то далеко от второго контура, создает на M2 "ЭДС ~ M*dI1/dt", индуктивность M в которой меньше или равна сумме "половины M1" и "половины M2"
т.е. "ЭДС ~ (M1 + M2)/2*dI1/dt", а в нашей второй модели здесь было "~ M2*dI1/dt", разница на "(M1 - M2)/2"
т.е. на ток текущий где то далеко от второго контура, индуктивность приемника контура M2 проявляет себя в два раза хуже, зато на силу потока неожиданно повлияла индуктивность источника M1 (т.е. для силы магнитного потока важно течет ли создающий этот магнитный поток ток dI/dt по прямому проводу или по индуктивности M1, и это влияние M1 на поток не одно и тоже что от самоиндукции M1)
.
наличие произведения "M1*M2" побуждает предположить несколько утверждений
если изменение магнитного потока dFI1/dt порождает ЭДС U1 и изменение тока dI1/dt пропорциональное индуктивности M1, то в обратную сторону будет то же самое - изменение тока будет порождать пропорциональное индуктивности ЭДС и изменение магнитного потока
dFI1/dt ~ U1 ~ M1*dI1/dt
ЭДС самоиндукции U1 появляется на контуре M1 в ответ на изменение магнитного потока dFI1/dt, но сам поток dFI1/dt появляется от протекания через контур M1 первичного тока dI11/dt от внешнего источника и тоже зависит от M1
и тогда процесс создания магнитного потока от первого контура ко второму по физическому смыслу выглядит так:
- первичный ток dI1/dt (при наличии самоиндукции dI1/dt это остаток первичного тока равный первичный ток минус эффект от самоиндукции) от внешнего источника ЭДС U1 создает на первом контуре пропорциональный индуктивности M1 поток dFI1/dt;
- этот поток dFI1/dt создает на втором контуре ЭДС U2 и изменение тока dI2/dt (при разомкнутом втором контуре ток dI2/dt равен нулю) пропорциональное индуктивности M2;
и теперь если связать ЭДС U2 второго контура и изменение тока dI1/dt первого контура через индуктивность M (U2 = M*dI1/dt), то "M = sqrt(M1*M2)"
.
почему не сумма "M1 + M2" а произведение "M1 * M2", в чем тут физический смысл?
это первый вопрос который хочется задать
у нас физический смысл создания ЭДС индукции в том что сначала первый контур создает магнитное поле пропорциональное M1, а затем второй контур создает из этого поля ЭДС пропорциональную M2, т.е. M1 умножается на M2 и это действие произведения нельзя выразить как сумму, потому что:
- в любой сумме если один из слагаемых мал, то его можно просто выбросить: если "M2 << M1", то "M1 + M2 ~ M1";
- для произведения все наоборот, если один из множителей мал это определит малый размер всего результата произведения: если "M2 << M1", то "M1 * M2 ~ M2";
физический смысл малого M1 означает "высокое магнитное сопротивление в первом контуре при создании поля" и полученное нулевое магнитное поле будет потом бесполезно умножать в контуре M2
.
а почему не произведение "M1 * M2", а корень из произведения "sqrt(M1 + M2)", в чем тут физический смысл?
это второй вопрос который хочется задать
можно сказать что размерность "индуктивности" при извлечении корня из произведения двух индуктивностей становится правильной и равной "индуктивности"
и еще корень это некое "среднее значение" произведения двух чисел, т.е. возможно извлекая корень мы из двух участвующих настоящих индуктивностей создаем такую "эквивалентную виртуальную индуктивность" что:
- ее можно использовать в аналитических выражениях на месте индуктивности;
- как бонус она одинакова в обоих направлениях потока (от первого контура ко второму и наоборот);
как еще один факт, сравнивая корень с полусуммой "sqrt(M1*M2) <= (M1 + M2)/2" мы утверждаем что корень как то эквивалентен "среднему значению (полусумме)"
.
коэффициент связи
можно задать M = k*L, k способен принимать значения от 0 до 1
это иной способ задать индуктивность рассеяния контура
L = Ls + M = Ls + k*L
Ls = (1-k)*L
тогда M = sqrt(M1*M2) = sqrt(k1*k2)*sqrt(L1*L2)
k = M/sqrt(L1*L2) = sqrt(k1*k2)
"sqrt(k1*k2)" это коэффициент связи способный принимать значения от 0 до 1
коэффициент связи это еще один способ задать индуктивность рассеяния, если задается один k то вероятно предполагается k1 равный k2
.
также есть дополнительные уравнения для двух магнитно связанных контуров
иногда эти выражения позволяют быстрее находить решение для dI1/dt не вычисляя dI2/dt и наоборот
баланс мощности
P1 = P2
трансформация токов и напряжений в n раз
для примера понижающий трансформатор
U1 = n*U2 (напряжения на L1 и L2 индуктивностях контуров)
n*I1 = I2 (токи через первый и второй контуры)
трансформация сопротивлений в n^2 раз
для примера понижающий трансформатор
U1 = n*U2
I1 = I2/n
U1*I1 = U2*I2
R1 = U1/I1 = n*U2/(I2/n) = (n^2)*U2/I2 = R2*n^2 (сопротивление вносимое в первый контур из второго)
===