📚 Шаг 1: Разбираемся с условием
Что у нас есть? 🤓
- Обычный кубик с гранями: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
- Бросаем его два раза.
- Считаем сумму двух выпавших чисел.
- Работаем только с теми случаями, где эта сумма от 4 до 10. 📏
- Среди этих случаев ищем те, где оба числа одинаковые. 🔄
🎯 Ключевая идея задачи:
Это задача на условную вероятность.
Что такое условная вероятность?
Это вероятность события A при условии, что событие B уже произошло. Обозначается P(A∣B) и вычисляется по формуле:
где:
- A∩B — одновременное выполнение A и B,
- P(B)>0.
Нам нужно найти вероятность события «оба раза выпало одинаковое число» при условии, что «сумма очков от 4 до 10».
Это значит, что мы будем рассматривать не все 36 возможных пар, а только те, где сумма попадает в нужный диапазон, и уже среди них искать благоприятные.
🧮 Шаг 2: Сколько всего возможно пар (исходов)?
Здесь нам помогает главное правило комбинаторики — правило умножения. ✨
Если первый выбор можно сделать m способами, а второй (независимый от первого) — n способами, то сделать оба выбора можно m ∙ n способами.
Это правило работает, если выборы независимы — то есть количество вариантов второго выбора не зависит от того, что выбрали в первый раз. 🤝
Применяем к задаче:
В нашем примере: какая бы грань ни выпала в первый раз, во второй раз всё равно возможно 6 вариантов — они независимы. 🎯
Возможные комбинации:
- Первый бросок: 6 вариантов (1, 2, 3, 4, 5, 6) → m = 6.
- Второй бросок: 6 вариантов (1, 2, 3, 4, 5, 6) → n = 6.
Итого всех возможных пар (исходов):
6 ∙ 6 = 36. ✅
⚠️ Важно! Все исходы равновероятны, потому что:
- Кубик симметричный (правильный) — каждая грань выпадает с вероятностью 1/6. ⚖️
- Броски независимы — результат первого не влияет на второй (вероятности перемножаются). 🔄
- Поэтому вероятность любой конкретной пары, например, (3,5) равна:
1/6 ∙ 1/6 = 1/36. 📊
🎯 Шаг 3: Отбираем пары, где сумма от 4 до 10
Нам нужны суммы от 4 до 10 включительно.
Сначала проще найти, какие пары НЕ подходят, и вычесть их. 🧹
❌ Не подходят слишком маленькие суммы (< 4):
- Сумма 2: только (1,1) — 1 исход
- Сумма 3: (1,2), (2,1) — 2 исхода
Итого: 3 исхода 😔
❌ Не подходят слишком большие суммы (> 10):
- Сумма 11: (5,6), (6,5) — 2 исхода
- Сумма 12: (6,6) — 1 исход
Итого: 3 исхода 😔
Всего не подходит: 3 + 3 = 6 исходов. ❌
✅ Подходит под условие (сумма 4–10):
36 − 6 = 30 исходов. 🎉
🔍 Шаг 4: Ищем среди этих 30 исходов одинаковые числа
"Во второй раз столько же, сколько в первый" — это пары, где оба числа равны:
(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) 🔄
Проверим, какие из них имеют сумму от 4 до 10:
Благоприятные исходы: (2,2), (3,3), (4,4), (5,5) — всего 4 пары (исхода). 🎯✨
📊 Шаг 5: Считаем вероятность
Мы нашли:
- Всего исходов, удовлетворяющих условию задачи: 30 📈
- Благоприятных исходов среди них: 4 🎯
По формуле условной вероятности:
где:
- Событие B — «сумма очков от 4 до 10» (30 исходов)
- Событие A — «во второй раз выпало столько же, сколько в первый» (в общем случае 6 исходов, но нам нужны только те, что ещё и в B)
Мы нашли:
Почему ответ именно 2/15, а не 1/6?
Если бы не было условия на сумму, вероятность того, что оба раза выпадет одинаковое число, была бы:
Но по условию задачи нас интересуют только те случаи, когда сумма от 4 до 10. Поэтому мы сужáем пространство исходов до 30 возможных пар и среди них уже ищем благоприятные. Это и есть условная вероятность.
Способ 2 (наглядный): С помощью таблицы 📋✨
Можно представить все 36 исходов в виде таблицы 6×6, где номер строки — первый бросок, номер столбца — второй.
1. Строим таблицу: 📐
2. Закрашиваем (зачёркиваем) клетки, которые НЕ подходят по сумме (2, 3, 11, 12): 🚫
- Сумма 2: (1,1)
- Сумма 3: (1,2), (2,1)
- Сумма 11: (5,6), (6,5)
- Сумма 12: (6,6)
3. Считаем незакрашенные клетки — их остаётся 30. Это все исходы, где сумма от 4 до 10. 📊✅
4. Смотрим на главную диагональ таблицы (где номера строки и столбца равны — это и есть пары с одинаковыми числами). Среди незакрашенных на диагонали остались:
(2,2), (3,3), (4,4), (5,5) — 4 клетки. 🔍✨
5. Считаем вероятность. Снова получаем 4 благоприятных исхода из 30: