Добрый день! Предлагаю решить классическую задачу:
Можно ли замостить доску 8x8 без угловых клеток доминошками?
Предлагаю подумать, а ответ будет ниже, после картинки.
Всего имеем 62 клетки и кажется, что да. 62 делится на 2, поэтому замощение имеет место. Но правильный ответ — нет. Абсолютно невозможно.
Почему? Сейчас увидите всю магию.
Шаг 1: Ловушка для интуиции
Мозг сразу думает: «Клеток четное число, значит, теоретически можно». Мы начинаем мысленно прикладывать доминошки, сбиваться, пробовать снова. Кажется, вот-вот получится!
Но это иллюзия. Задача решается не перебором, а одной хитрой идеей.
Шаг 2: Секретное оружие — раскраска
Давайте раскрасим доску. Но не как попало, а в шахматную клетку (как она и была, просто теперь это важно).
Что мы имеем в обычной доске 8×8?
· 32 черные клетки
· 32 белые клетки
А что происходит, когда мы убираем два противоположных угла?
Ключевой момент: эти углы — одного цвета! (Проверьте на настоящей доске: a1 и h8 — обе черные; a8 и h1 — обе белые).
Предположим, мы убрали две черные клетки. Тогда остаётся:
· 30 черных клеток
· 32 белых клетки
Шаг 3: Фокус доминошки
А теперь магия. Возьмите одну доминошку. Куда бы вы её ни положили — вертикально или горизонтально — она ВСЕГДА закроет одну черную и одну белую клетку.
Всегда. Без исключений. Это железное правило.
Шаг 4: Нокаутирующий вывод
Каждая доминошка берет поровну: 1 черную + 1 белую.
Значит, сколько бы доминошек мы ни использовали, они обязательно покроют равное количество черных и белых клеток.
Но у нас на доске черных и белых — НЕ поровну (30 против 32)!
Это тупик. Противоречие. Значит, замостить такую доску НЕВОЗМОЖНО В ПРИНЦИПЕ. Не потому что мы не старались, а потому что это противоречит законам математики.
(Итог в рамке или отдельно)
Суть метода: мы нашли неизменное свойство (инвариант) — четность количества клеток разного цвета. Если оно нарушено в начале, ни одна наша уловка не поможет.
А вот если убрать две клетки разного цвета (например, соседние), то задача сразу становится решаемой. Заодно попробуйте обобщить решение на другие размеры досок. Пробуйте!
А вы с ходу догадались о таком решении? Или пытались в уме переставлять доминошки?
Пишите в комментариях! И если знаете другие такие же элегантные задачи — делитесь, обсудим.
#математика #логика #головоломка #задача #домино #шахматы #инвариант #раскраска #доказательство #мышление