Здравствуйте, дорогие девятиклассники! Сегодня мы отправляемся в увлекательное путешествие в мир стереометрии — раздела геометрии, который изучает фигуры в пространстве. Не пугайтесь слова «стереометрия»! На самом деле, вы сталкиваетесь с этими фигурами каждый день: коробка сока — это прямоугольный параллелепипед, египетские пирамиды — это, собственно, пирамиды, а любимые кубики Рубика — это кубы. Задание №17 как раз и проверяет, насколько хорошо вы понимаете эти объёмные фигуры.
Основные фигуры: призма и пирамида
Призма
Представьте, что вы взяли какой-нибудь многоугольник (треугольник, квадрат, шестиугольник) и «вытянули» его в пространстве, параллельно перенося. Получится призма.
Элементы призмы:
· Основания — два равных многоугольника, которые лежат в параллельных плоскостях.
· Боковые грани — параллелограммы (или прямоугольники, если призма прямая).
· Боковые рёбра — отрезки, соединяющие соответствующие вершины оснований. Они параллельны и равны.
· Высота — расстояние между плоскостями оснований.
Частные и важные случаи:
· Прямая призма: боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Её боковые грани — прямоугольники.
· Правильная призма: это прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник (все стороны и углы равны).
· Параллелепипед: призма, в основании которой параллелограмм.
· Прямоугольный параллелепипед: все грани — прямоугольники. Его объём: V = a * b * c, где a, b, c — три измерения.
· Куб: частный случай прямоугольного параллелепипеда, где все рёбра равны. Объём: V = a³.
Пирамида (особенно правильная!)
А теперь представьте многоугольник-основание и точку в пространстве, которая не лежит в его плоскости. Если соединить все вершины основания с этой точкой, получится пирамида.
Элементы пирамиды:
· Основание — многоугольник.
· Боковые грани — треугольники, имеющие общую вершину.
· Вершина пирамиды — та самая общая точка всех боковых граней.
· Боковые рёбра — отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания.
· Высота — перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.
Правильная пирамида — наша главная героиня в ОГЭ!
Это пирамида, у которой:
1. В основании лежит правильный многоугольник (например, квадрат или равносторонний треугольник).
2. Основание высоты пирамиды совпадает с центром основания (центром описанной и вписанной окружности).
3. Все боковые рёбра равны, а все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.
Апофема (важнейшее понятие!) — высота боковой грани, проведённая в правильной пирамиде из её вершины. Обозначается часто буквой l. Апофема нужна для вычисления площади боковой поверхности.
Важные углы в пространстве
Чтобы решать задачи, нужно уметь находить углы не только между прямыми, но и между прямыми и плоскостями.
Угол между прямой и плоскостью
Это угол между самой прямой и её проекцией на эту плоскость.
Как найти на практике (например, в правильной пирамиде SABCD):
1. Найдите основание перпендикуляра, опущенного из точки прямой на плоскость. В правильной пирамиде — это центр основания O.
2. Соедините это основание (точку O) с точкой пересечения прямой и плоскости (точку A). Это OA — проекция.
3. Искомый угол лежит в треугольнике между прямой (SA), её проекцией (OA) и перпендикуляром (SO).
Двугранный угол
Это угол между двумя полуплоскостями, имеющими общую границу.
Как его увидеть? Нужно провести перпендикуляры к линии пересечения плоскостей (ребру) в каждой из плоскостей. Угол между этими перпендикулярами и будет линейным углом двугранного угла.
Пример в правильной пирамиде: Двугранный угол при основании — это угол между боковой гранью и плоскостью основания. Чтобы его найти, нужно в грани провести апофему (SM), а в основании — перпендикуляр из той же точки к ребру основания (MK). Угол SMK и будет искомым.
Сечения и развертки
Сечения
Мысленное рассечение фигуры плоскостью помогает понять её внутреннее строение. В ОГЭ часто просят найти площадь сечения.
Важный совет: Сечение правильной пирамиды плоскостью, проходящей через её вершину и диагональ основания, будет равнобедренным треугольником.
Развертки
Представьте, что вы разрезали коробку по рёбрам и разложили её на столе. Получившаяся плоская фигура — это развертка. Умение мысленно создавать развертки критически важно для вычисления площади полной поверхности.
· Площадь полной поверхности = Площадь боковой поверхности + Площадь основания (для пирамиды: + Площади всех оснований для призмы).
· Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: Sбок = (1/2) * Pосн * l, где Pосн — периметр основания, l — апофема.
· Площадь боковой поверхности прямой призмы: Sбок = Pосн * h, где h — высота призмы.
Практика: Разбор задачи из ОГЭ
Задача (типовая для ОГЭ): В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 6, а высота SO равна 4. Найдите объём пирамиды.
Решение :
Понимаем, что дано.
Нам дана правильная четырёхугольная пирамида. Это значит:
· Основание ABCD — квадрат. Сторона квадрата = 6.
· Точка O — центр квадрата (основания). Высота SO = 4.
· Все боковые рёбра равны: SA = SB = SC = SD.
· Все апофемы равны.
Вспоминаем формулу объёма пирамиды.
Объём любой пирамиды вычисляется по формуле:
V = (1/3) * Sосн * h, где
· Sосн — площадь основания,
· h — высота пирамиды (перпендикуляр из вершины к основанию, у нас это SO = 4).
Находим площадь основания.
Основание — квадрат со стороной 6.
Площадь квадрата: Sосн = сторона² = 6² = 36.
Подставляем всё в формулу.
V = (1/3) * 36 * 4.
Выполняем вычисления.
Сначала 36 * 4 = 144.
Теперь 144 / 3 = 48.
Записываем ответ.
Ответ: 48.
А что если бы спросили площадь полной поверхности? Давайте решим и этот вопрос для тренировки.
Найдём апофему SM.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SOM:
· SO = 4 (высота, катет).
· OM — половина стороны основания, так как O — центр квадрата. Сторона = 6, значит, OM = 3.
· SM — апофема, гипотенуза. По теореме Пифагора:
SM² = SO² + OM² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25.
Значит, SM = 5.
Находим площадь боковой поверхности.
Периметр основания квадрата: P = 4 * 6 = 24.
Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды:
Sбок = (1/2) * Pосн * l = (1/2) * 24 * 5 = 12 * 5 = 60.
Находим площадь полной поверхности.
Sполн = Sбок + Sосн = 60 + 36 = 96.
Памятка: Главные формулы для стереометрии в ОГЭ
1. Объём пирамиды: V = (1/3) * Sосн * h
2. Объём призмы (и параллелепипеда): V = Sосн * h
3. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: Sбок = (1/2) * Pосн * l (l — апофема)
4. Площадь боковой поверхности прямой призмы: Sбок = Pосн * h
5. Площадь полной поверхности: Sполн = Sбок + Sосн (для пирамиды); Sполн = Sбок + 2 * Sосн (для призмы)
Дорогие ребята, стереометрия учит нас смотреть на мир объёмно и находить логику в форме окружающих предметов. Регулярно тренируйтесь в решении задач, рисуйте чертежи, и задание №17 покорится вам!
Домашнее задание: В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 8, а высота равна 6. Найдите её объём. Подсказка: площадь правильного треугольника со стороной a находят по формуле: S = (a² * √3) / 4.
Удачи в освоении пространства! Ваш учитель геометрии верит, что у вас всё получится.