Представьте: бальный зал, звуки менуэта, пять дам в пышных платьях и пять кавалеров в камзолах ждут момента, когда начнут приглашать на танец. Каждый кавалер должен выбрать даму для парного танца. И никого нельзя оставить без пары!
Вопрос: сколько существует разных вариантов составить эти пять пар?
Шаг 1: Начинаем с первого кавалера
Подходит первый кавалер. Перед ним — пять дам, и он может пригласить любую из них. У него есть 5 вариантов выбора.
Пара образуется, они отходят в сторону.
Шаг 2: Второй кавалер
Теперь на площадке осталось 4 дамы. У второго кавалера — 4 варианта выбора.
Шаг 3: Продолжаем логику
· Третий кавалер выбирает из 3 дам → 3 варианта
· Четвёртый кавалер выбирает из 2 дам → 2 варианта
· Пятому кавалеру «достаётся» последняя оставшаяся дама → 1 вариант
Кажется, ответ: 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 способов.
Шаг 4: А если считать от девушек?
А теперь представим обратную ситуацию: дамы выбирают кавалеров.
· Первая дама: 5 вариантов
· Вторая: 4 варианта
· ...
Получится та же самая цепочка умножения: 5 x 4 x 3 x 2 x 1.
Что это за число? Это 5! («пять факториал») — произведение всех натуральных чисел от 1 до 5.
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Шаг 5: Почему это работает? Мы ничего не упустили?
Важный нюанс: порядок образования пар не имеет значения. В нашем подсчёте мы неявно «упорядочили» кавалеров (первый, второй...). Но на балу все пары образуются одновременно, и состав пар — это просто набор из пяти связей.
Однако! Мы можем перенумеровать всех ковалеров и дам и применить предыдущие рассуждения.
На самом деле в нашей ситуации (когда каждый кавалер уникален и каждая дама уникальна) упорядочивание кавалеров как раз правильно. Тут мы приходим к важному понятию перестановки.
Эта комбинаторная функция — факториал — появляется в комбинаторике, да и в анализе повсеместно.
Бонус-вопрос: Сколько будет способов, если 3 кавалера должны пригласить 5 дам, и каждый может танцевать только с одной, но некоторые дамы останутся без пары? Пишите свои рассуждения в комментариях!
#математика #комбинаторика #задача #факториал #бал #пары #логика #считаемвместе #олимпиаднаяматематика