Здравствуйте, дорогие девятиклассники! Сегодня мы с вами переходим к особому рубежу — начинаем разбирать задачи второй части ОГЭ. Задание №16 — это первая задача, где требуется развернутое решение с объяснениями. Не пугайтесь! Если вы усвоили предыдущие темы, то справитесь с этой задачей. Главное — понимать, как подходить к решению системно.
Почему задание №16 особое?
В отличие от заданий первой части, где проверяется только ответ, здесь проверяющий будет читать ход ваших мыслей. Вы получите баллы не только за правильный ответ, но и за каждый верный шаг решения. Даже если не дойдете до конца, но правильно начнете — уже получите часть баллов!
Классические сюжеты задания №16
В задании №16 обычно встречаются комбинации тем, которые мы уже изучали:
1. Окружности с хордами, касательными, секущими
2. Подобные треугольники (часто нужно найти отрезок)
3. Прямоугольные треугольники с применением теоремы Пифагора
4. Нахождение углов через свойства окружностей
5. Вычисление площадей частей фигур
Чаще всего задача представляет собой комбинацию окружности и треугольника с использованием подобия.
Алгоритм решения: 4 шага к успеху
Шаг 1: Внимательный чертеж
Что делаем: Рисуем фигуру по условию, но не просто копируем, а анализируем!
· Отмечаем все точки, названные в условии
· Подписываем известные длины, углы
· Выделяем цветом то, что дано и то, что нужно найти
Важно: Чертеж должен быть достаточно большим и четким, чтобы на нем можно было делать пометки.
Шаг 2: Выписываем все данные
Что делаем: Из условия выписываем в столбик:
· Что дано (с указанием, к каким элементам это относится)
· Что нужно найти
· Какие теоремы и свойства могут пригодиться
Пример записи:
Дано:
1. Окружность с центром O
2. Хорды AB и CD пересекаются в точке E
3. AE = 3 см, EB = 8 см, CE = 6 см
Найти: ED
Шаг 3: Ищем ключевые элементы
Что ищем в первую очередь:
1. Прямоугольные треугольники (прямые углы, высоты)
2. Подобные треугольники (параллельные линии, равные углы)
3. Равнобедренные треугольники (равные стороны, радиусы окружности)
4. Свойства окружности (касательные, хорды, центральные и вписанные углы)
Шаг 4: Составляем и решаем уравнение
Как составляем: На основе найденных соотношений (подобия, равенств, теорем) составляем уравнение, связывающее известные и неизвестные величины.
Практика: Подробный разбор задач из реальных ОГЭ
Задача 1 (классическая, на пересечение хорд)
В окружности хорды AB и CD пересекаются в точке E. Известно, что AE = 6, EB = 4, CE = 3. Найдите ED.
Решение с подробными объяснениями:
Делаем чертеж
1. Рисуем окружность (можно от руки, это не урок рисования!)
2. Проводим две хорды AB и CD так, чтобы они пересекались внутри окружности
3. Точку пересечения обозначаем E
4. Подписываем отрезки: на AB отмечаем AE = 6, EB = 4; на CD отмечаем CE = 3; ED — знаком вопроса
Выписываем данные
Дано:
- Окружность
- Хорды AB и CD пересекаются в точке E
- AE = 6
- EB = 4
- CE = 3
Найти: ED
Ищем ключевые элементы и вспоминаем теорию
1. При пересечении двух хорд окружности образуются пары подобных треугольников
2. Конкретно: ΔAED ∼ ΔCEB (докажем это)
3. Доказательство подобия:
· ∠AED = ∠CEB (вертикальные углы, равны)
· ∠ADE = ∠CBE (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу AC)
· Значит, ΔAED ∼ ΔCEB по двум углам
Составляем и решаем уравнение
1. Из подобия треугольников: соответствующие стороны пропорциональны
2. Составляем пропорцию: AE/CE = ED/EB
Важно: правильно определить соответствие сторон!
В ΔAED сторона AE соответствует стороне CE в ΔCEB
Сторона ED соответствует стороне EB
3. Подставляем известные значения: 6/3 = ED/4
4. Упрощаем: 2 = ED/4
5. Решаем: ED = 2 × 4 = 8
Записываем ответ
Ответ: ED = 8
Полное оформление решения в чистовике:
1. При пересечении хорд AB и CD образуются треугольники AED и CEB.
2. ∠AED = ∠CEB (как вертикальные).
3. ∠ADE = ∠CBE (как вписанные, опирающиеся на одну дугу AC).
4. Следовательно, ΔAED ∼ ΔCEB по двум углам.
5. Из подобия треугольников: AE/CE = ED/EB.
6. Подставляем известные значения: 6/3 = ED/4.
7. Получаем: 2 = ED/4 ⇒ ED = 8.
Ответ: 8.
Задача 2 (более сложная, с высотой в треугольнике)
В треугольнике ABC известно, что AB = 15, BC = 20, AC = 25. Найдите высоту, проведенную из вершины B.
Решение с рассуждениями:
Анализ условия и чертеж
1. Рисуем треугольник ABC (не обязательно в масштабе, но пропорции лучше соблюсти)
2. Замечаем: 15, 20, 25 — это пифагорова тройка! 15² + 20² = 225 + 400 = 625 = 25²
3. Значит, треугольник прямоугольный с гипотенузой AC = 25 и катетами AB = 15, BC = 20
4. ∠B = 90° (лежит против гипотенузы AC)
5. Проводим высоту BH из вершины B к гипотенузе AC
Выписываем данные
Дано:
ΔABC, AB = 15, BC = 20, AC = 25
∠B = 90° (проверено: 15² + 20² = 25²)
BH — высота к гипотенузе AC
Найти: BH
Выбираем способ решения
Есть несколько путей:
1. Через площади: S(ABC) = ½ × AB × BC = ½ × AC × BH
2. Через метрические соотношения в прямоугольном треугольнике
Решение через площади (самый простой путь)
1. Площадь прямоугольного треугольника можно найти двумя способами:
· Через катеты: S = ½ × AB × BC
· Через гипотенузу и высоту: S = ½ × AC × BH
2. Приравниваем: ½ × AB × BC = ½ × AC × BH
3. Сокращаем ½: AB × BC = AC × BH
4. Подставляем: 15 × 20 = 25 × BH
5. 300 = 25 × BH
6. BH = 300 ÷ 25 = 12
Записываем ответ
Ответ: BH = 12
Альтернативное решение (через метрические соотношения):
1. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на проекции катетов
2. Найдем проекции: AH = (AB²)/AC = 225/25 = 9; HC = (BC²)/AC = 400/25 = 16
3. Проверим: AH + HC = 9 + 16 = 25 = AC — верно
4. Высота BH = √(AH × HC) = √(9 × 16) = √144 = 12
Полное оформление в чистовике:
1. Проверим, является ли треугольник прямоугольным:
15² + 20² = 225 + 400 = 625 = 25².
Следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, ΔABC — прямоугольный с гипотенузой AC и прямым углом B.
2. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:
S = ½ × AB × BC и S = ½ × AC × BH, где BH — искомая высота.
3. Приравниваем выражения для площади:
½ × AB × BC = ½ × AC × BH.
4. Сокращаем ½ и подставляем значения:
15 × 20 = 25 × BH.
5. Решаем уравнение:
300 = 25 × BH ⇒ BH = 300 ÷ 25 = 12.
Ответ: 12.
Как оформлять решение в бланке ОГЭ?
1. Пишите разборчиво — проверяющий должен понять ваш почерк
2. Нумеруйте шаги или пишите последовательно
3. Объясняйте каждый переход — не пропускайте логические звенья
4. Выделяйте ответ — можно подчеркнуть или написать "Ответ: ..."
5. Не пишите лишнего — только то, что относится к решению
Типичные ошибки в задании №16
1. Нет доказательства подобия — просто написали пропорцию
2. Неправильное соответствие сторон в пропорции
3. Не проверили, прямоугольный ли треугольник — использовали свойства прямоугольного треугольника без доказательства
4. Потеряли единицы измерения — если в условии были см, в ответе тоже должны быть см
5. Неполное решение — нашли, но не объяснили как
Тренировочные задачи для самостоятельной работы
Попробуйте решить эти задачи полностью, с оформлением:
1. В окружности проведены диаметр AB и хорда AC. Найдите угол между хордой AC и касательной к окружности в точке A, если ∠BAC = 35°.
2. В треугольнике ABC известно, что AB = 10, BC = 17, AC = 21. Найдите высоту, проведенную из вершины B.
Подсказки:
1. Вспомните свойство: угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, стягиваемую этой хордой.
2. Используйте формулу Герона для нахождения площади, затем найдите высоту через площадь.
Дорогие ребята, задание №16 — это первый серьезный шаг во второй части ОГЭ. Не бойтесь этих задач! Они решаются по тем же правилам, что и задачи первой части, только требуется более подробное объяснение.
Самый главный совет: Начинайте решение с чертежа и аккуратной записи условия. Часто в процессе этого само решение становится очевидным.
Домашнее задание: Решите 2 задачи типа №16 из сборника ОГЭ. Оформите решение полностью, как будто сдаете на экзамене. Обратите внимание на полноту объяснений.
Успехов в освоении геометрии! Помните: каждая решенная задача делает вас ближе к успешной сдаче ОГЭ.