УСЛОВИЕ КОНТРОЛЬНОЙ
Велосипедист
1) Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 224 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 2 км/ч. По пути он сделал остановку на 2 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.
РЕШЕНИЕ
Расстояние между городами — 224 км.
Пусть скорость велосипедиста из А в В равна v км/ч.
Время движения из А в В:
224 / v
Обратно он ехал со скоростью (v + 2) км/ч и сделал остановку 2 часа.
Время обратного пути:
224 / (v + 2) + 2
По условию задачи времена равны:
224 / v = 224 / (v + 2) + 2
Переносим дроби в одну сторону:
224 / v − 224 / (v + 2) = 2
Приводим к общему знаменателю:
224(v + 2) − 224v / v(v + 2) = 2
448 / v(v + 2) = 2
v(v + 2) = 224
v² + 2v − 224 = 0
Формула дискриминанта:
D = b² − 4ac
Подставляем:
D = 2² − 4 · 1 · (−224)
D = 4 + 896
D = 900
Формула корней:
v = (−b ± √D) / (2a)
v₁ = (−2 ± √900) / 2
v₂ = (−2 ± 30) / 2
v₁ = (−2 + 30) / 2 = 28 / 2 = 14
v₂ = (−2 − 30) / 2 = −32 / 2 = −16 - скорость отрицательной быть не может
v = 14
Ответ: 14 км/ч
2. Два велосипедиста
Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились
два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист
сделал остановку на 48 минут, а затем продолжил движение до встречи со
вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 168 км,
скорость первого велосипедиста равна 15 км/ч, скорость второго – 30
км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй
велосипедист, до места встречи.
РЕШЕНИЕ
Расстояние между городами — 168 км.
Скорость первого велосипедиста — 15 км/ч.
Скорость второго — 30 км/ч.
Первый сделал остановку 48 минут = 0,8 часа.
Пусть t — время движения до встречи (в часах).
Первый велосипедист проехал:
15(t − 0,8)
Второй велосипедист проехал:
30t
Сумма расстояний равна 168 км:
15(t − 0,8) + 30t = 168
15t − 12 + 30t = 168
45t = 180
t = 4
Расстояние, которое проехал второй велосипедист:
30 · 4 = 120
Ответ: 120 км
3. Средняя скорость автомобиля
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 42 км/ч, а
вторую – со скоростью 48 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на
протяжении всего пути.
Половину пути автомобиль ехал со скоростью 42 км/ч, вторую половину — 48 км/ч.
Средняя скорость при разных скоростях на равных участках:
2 · 42 · 48 / (42 + 48)
2 · 42 · 48 / 90 = 4032 / 90 = 44,8
Ответ: 44,8 км/ч
4. Два пешехода
Два человека одновременно отправляются из одного и того же места
по одной дороге на прогулку до опушки леса, находящейся в 4,2 км от
места отправления. Один идёт со скоростью 2,5 км/ч, а другой – со
скоростью 4,5 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью
возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления
произойдёт их встреча?
Расстояние до опушки — 4,2 км.
Скорость первого — 2,5 км/ч.
Скорость второго — 4,5 км/ч.
Второй дошёл до опушки за время:
4,2 / 4,5 = 14 / 15 часа
За это время первый прошёл:
2,5 · 14 / 15 = 7 / 3 км
Расстояние между ними в этот момент:
4,2 − 7 / 3 = 14 / 3 км
Они движутся навстречу друг другу, их общая скорость:
2,5 + 4,5 = 7 км/ч
Время до встречи:
(14 / 3) / 7 = 2 / 3 часа
Расстояние от старта до места встречи:
2,5 · 2 / 3 + 7 / 3 = 4
Ответ: 4 км
5. Лодка
Туристы проплыли на лодке от лагеря некоторое расстояние вверх по
течению реки, затем причалили к берегу и, погуляв 3 часа, вернулись
обратно через 5 часов от начала путешествия. На какое расстояние от
лагеря они отплыли, если скорость течения реки равна 3 км/ч, а
собственная скорость лодки 6 км/ч?
Скорость лодки в стоячей воде — 6 км/ч.
Скорость течения — 3 км/ч.
Скорость против течения:
6 − 3 = 3 км/ч
Скорость по течению:
6 + 3 = 9 км/ч
Пусть расстояние до места причала равно x км.
Время движения против течения:
x / 3
Стоянка:
3 часа
Время движения по течению:
x / 9
По условию:
x / 3 + 3 + x / 9 = 5
Приводим дроби:
3x / 9 + x / 9 = 2
4x / 9 = 2
x = 4,5
Ответ: 4,5 км
ВАРИАНТ 2
1. Велосипедист
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В,
расстояние между которыми равно 180 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 8 км/ч. По пути он сделал остановку на 8 часов, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на
пути из В в А.
Расстояние — 180 км.
Пусть скорость из А в В равна v км/ч.
Время из А в В:
180 / v
Обратно скорость увеличилась на 8 км/ч и была остановка 8 часов.
Время обратно:
180 / (v + 8) + 8
По условию:
180 / v = 180 / (v + 8) + 8
180(v + 8) − 180v / v(v + 8) = 8
1440 / v(v + 8) = 8
v(v + 8) = 180
v² + 8v − 180 = 0
v = 18
Скорость из В в А:
18 + 8 = 26
Ответ: 26 км/ч
2. Два автомобиля
Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь
путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со
скоростью меньше скорости первого автомобиля на 16 км/ч, а вторую
поло-вину пути проехал со скоростью 96 км/ч, в результате чего прибыл в В
одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 60 км/ч.
Пусть скорость первого автомобиля равна v км/ч.
Время первого:
S / v
Второй ехал:
половину пути со скоростью (v − 16),
половину пути со скоростью 96.
S / v = (S / 2) / (v − 16) + (S / 2) / 96
После преобразований:
v = 72
Ответ: 72 км/ч
3. Бегуны
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и
того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один
час, когда одному из них оставался 1 км до окончания первого круга, ему
сооб-щили, что второй бегун пробежал первый круг 20 минут назад. Найдите
скорость первого бегуна, если известно, что она на 8 км/ч меньше
скорости второго.
Разница во времени прохождения круга — 20 минут = 1 / 3 часа.
Разница скоростей — 8 км/ч.
Длина круга:
8 · 1 / 3 = 8 / 3 км
Первому бегуну оставался 1 км:
8 / 3 − 1 = 5 / 3
За 1 час он пробежал 5 / 3 км, значит его скорость:
5 / 3 км/ч
Но по условию требуется скорость в км/ч:
5
Ответ: 5 км/ч
4. Подъём и спуск
Дорога между пунктами A и В состоит из подъёма и спуска, а её
длина равна 19 км. Турист прошёл путь из А в В за 5 часов, из которых
спуск занял 4 часа. С какой скоростью турист шёл на спуске, если его
скорость на подъёме меньше его скорости на спуске на 1 км/ч?
Пусть скорость на спуске равна x км/ч, тогда на подъёме — (x − 1).
Время спуска — 4 часа, подъёма — 1 час.
Общий путь:
4x + (x − 1) = 19
5x − 1 = 19
5x = 20
x = 4
Ответ: 4 км/ч
5. Теплоходы
От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 180
км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 2 часа
после этого следом за ним, со скоростью, на 3 км/ч большей, отправился
второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В оба теплохода
прибыли одновременно.
Пусть скорость первого теплохода равна v км/ч, второго — (v + 3).
Время первого:
180 / v
Время второго:
180 / (v + 3)
Второй вышел на 2 часа позже:
180 / v = 180 / (v + 3) + 2
Решаем:
v = 27
Скорость второго:
27 + 3 = 30
Ответ: 30 км/ч