Давайте сначала разберём теорию.
1. Пусть А- это высказывание.
Высказывание- это утверждение , о котором можно судить, истинно оно или ложно.
Например: «Москва - столица России» - это высказывание и оно истинно.
«Доброе утро!» - это не высказывание, так как нельзя судить о нём истинно оно или ложно. Это восклицание.
«Который сейчас час?» - это не высказывание, так как нельзя судить о нём истинно оно или ложно. Это вопрос.
«Дважды два – пять» - это высказывание и оно ложно.
2. Логическое отрицание (инверсия)
Такие таблицы называют таблицами истинности.
Рассмотрим логическое отрицание на примере:
А= «Дважды два - четыре», А=1 (истина)
НЕ(А) = « Дважды два - НЕ четыре», НЕ (А)= 0 (ложь)
Или
А= «3+5=11», А=0 (ложь)
НЕ (А) = «3+5 НЕ равняется 11», НЕ(А) = 1 (истина, потому что три плюс пять действительно не 11….)
3. Логическое сложение (дизъюнкция)
При составлении таблицы истинности рассматриваем все случаи, когда:
оба высказывания истинны (А=1, В=1);
первое истинно (А=1) , второе ложно (В=0);
первое ложно (А=0), второе истинно (В=1);
первое ложно (А=0), второе ложно (В=0).
Логическое сложение ложно только тогда, когда оба высказывания ложны, действительно, 0+0=0, в остальных случаях логическое сложение (дизъюнкция) – истинна.
(это легко запомнить , как в математике 0+0=0, 1+0=1,0+1=1,
и истина + истина = истина).
4. Логическое умножение (конъюнкция)
Также рассматриваем все случаи, когда:
оба высказывания истинны (А=1, В=1);
первое истинно (А=1) , второе ложно (В=0);
первое ложно (А=0), второе истинно (В=1);
первое ложно (А=0), второе ложно (В=0).
Логическое умножение истинно только тогда, когда оба высказывания истинны, действительно, 1∙1 =1, в остальных случаях логическое умножение (конъюнкция) – ложно.
(это легко запомнить, как в математике 1∙1=1, 1∙0=0, 0∙1=0, 0∙0=0).
Если всё понятно, то можно приступать к выполнению заданий.
1 (3 задание)
Напишите количество натуральных чисел, для которых истинно высказывание:
НЕ (Число > 19) И НЕ (Число чётное)
Решение:
1 способ решения.
Запишем логическое выражение равносильное данному, выполнив логическое отрицание:
НЕ(число >19), можно понимать как число НЕ больше 19, а равно или меньше 19, то есть НЕ(число >19) = (Число<=19)
НЕ(Число чётное), можно понимать как ЧИСЛО НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ЧЁТНЫМ, значит оно НЕЧЁТНОЕ, то есть
НЕ(Число чётное)= число НЕЧЁТНОЕ
Тогда это логическое высказывание:
НЕ(Число > 19) И НЕ (Число чётное)
Равносильно этому логическому высказыванию:
(х<=19) И (Число НЕЧЁТНОЕ) и оно должно быть истинным.
И – связка логического умножения.
1∙1=1
И в первых и во вторых скобках должна быть истина.
Значит, ищем все натуральные числа меньшие, либо равные 19 и нечётные: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19
Ответ: 10
2 способ решения:
И – это логическое умножение.
Когда логическое умножение истинно?
Когда оба высказывания истинны (1∙1=1).
НЕ(ложь)= истина, то есть НЕ(0)=1
Значит, нам нужна ложь и в первых скобках и во вторых.
Подбираем числа:
1. Пусть Число=20
20>19 – это истина, значит все числа, которые больше 19 не подходят.
2. Пусть Число=19
19>19 – это ложь (потому, что 19=19), подставим число 19 в данное высказывание и выполним проверку:
2. Пусть Число=18
18>19 – это ложь, подставляем число 18 в данное высказывание:
Становится ясным, что во вторых скобках нельзя брать чётные числа, так как чётные числа дадут истину, а НЕ(истина) = 0, тогда при умножении на ноль в ответе будет ноль, а мы ищем истину (1).
3. Пусть Число=17
17>19 – это ложь, подставляем число 17 в данное высказывание:
Понимаем, что нам подходят все нечётные числа от 19 до 1:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.
Ноль тоже подходит, но по условию нужны только натуральные числа.
(Вспомним, что натуральное число (1, 2, 3, 4, и т д. ) – это положительное, целое число, которое употребляется при счёте: 1 яблоко, 2 апельсина и т.д. Заметим, что ноль не является натуральным числом.)
Задание звучало так: Напишите количество натуральных чисел, для которых истинно высказывание…
Мы получили 10 натуральных чисел.
Ответ: 10
Примечание:
Это задание могло бы быть таким:
2 (3 задание)
Напишите НАИМЕНЬШЕЕ натуральное число, для которого ИСТИННО высказывание:
НЕ (Число > 19) И НЕ (Число чётное)
Решив его и получив решения: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, мы выбрали бы наименьшее число 1
Ответ: 1
Так же 3 задание могло быть таким:
3 (3 задание)
Напишите НАИБОЛЬШЕЕ натуральное число, для которого ИСТИННО высказывание:
НЕ (Число > 19) И НЕ (Число чётное)
Решив его и получив решения: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, мы выбрали бы набольшее число 19
Ответ: 19
4 (3 задание)
Укажите имя, для которого ЛОЖНО высказывание.
НЕ (Первая буква гласная) ИЛИ (Последняя буква гласная)
1) Анна
2) Максим
3) Татьяна
4) Олег
Решение:
1 способ решения:
Разберём это задание
При логическом сложении ложь плюс ложь даст ложь. (0+0=0)
В первых скобках должна быть истина, так как НЕ(истина) = ложь
т.е. НЕ(1)=0
Значит, нам нужны имена, где первая буква гласная – это Олег и Анна.
Во вторых скобках нам нужна ложь, согласная буква в конце даст ложь.
Значит, подходит имя Олег.
Ответ: Олег
Что произошло бы, если мы взяли бы имя Анна? Давайте разберёмся:
АННА
1) Первая буква гласная - истина;
2) НЕ(ИСТИНА)= ЛОЖЬ
3) последняя буква гласная – ИСТИНА
4) 0+1=1 (ЛОЖЬ + ИСТИНА=ИСТИНА), а перед нами стоит задача указать имя, для которого ЛОЖНО высказывание.
2 способ решения:
НЕ (Первая буква гласная) ИЛИ (Последняя буква гласная)
Запишем равносильное логическое высказывание:
НЕ (Первая буква гласная) – это можно понять , что первая буква не гласная, то есть Первая буква – согласная, значит
НЕ (Первая буква гласная)= (Первая буква согласная)
Тогда получим равносильно логическое высказывание:
(Первая буква согласная) ИЛИ (Последняя буква гласная)
Связка ИЛИ – это логическое сложение, а оно ЛОЖНО только тогда, когда оба высказывания ложные.
Значит, нам нужна ЛОЖЬ в обоих скобках.
Рассмотрим все имена:
АННА – последняя буква гласная, вторые скобки дадут истину(1), 0+1=1 , а нам нужна ЛОЖЬ (0).
МАКСИМ – первая буква согласная, первые скобки дадут 1, получим: 1+0=1
ТАТЬЯНА – и первые и вторые скобки дадут истину. 1+1=1
ОЛЕГ – и первые и вторые скобки дадут ЛОЖЬ, то есть 0+0=0
(О- гласная, Г – согласная)
Ответ: Олег
5 (3 задание)
Определите наименьшее трёхзначное число x, для которого ИСТИННО логическое выражение:
(x оканчивается на 3) И НЕ (x < 230).
Решение:
1 способ решения:
(x оканчивается на 3) И НЕ (x < 230).
Это логическое выражение равносильно следующему логическому выражению:
(x оканчивается на 3) И (х>=230) и оно должно быть ИСТИННЫМ
И – связка логического умножения.
Логическое умножение ИСТИННО, когда 1∙1.
Значит, нам нужно наименьшее трехзначное число большее либо равное 230 и оканчивающееся на 3.
Это число 233.
Ответ: 233
2 способ решения:
Сначала разберём логическое выражение.
Нужно найти трехзначное число, для которого ИСТИННО логическое выражение, то есть =1.
Связка И – это логическое умножение.
Логическое умножение ИСТИННО, когда 1∙1=1
Значит, в первых скобках должна быть ИСТИНА, а во вторых скобках – ЛОЖЬ, так как НЕ (ЛОЖЬ)=ИСТИНА:
Итак, мы ищем трехзначное число, которое оканчивается на 3( в первых скобках должна быть ИСТИНА) и которое больше или равно 230 (во вторых скобках должна быть ЛОЖЬ).
233 – подходит.
Числа 243, 253, 263, …993 так же подходят.
Но нам нужно НАИМЕНЬШЕЕ трехзначное число, для которого ИСТИННО логическое выражение, значит, х=233.
Ответ: 233
Примечание:
А если задание было бы таким:
Определите наибольшее трёхзначное число x, для которого ИСТИННО логическое выражение:
(x оканчивается на 3) И НЕ (x < 230).
Какое число вы написали бы в ответе?
Думаю, что уже догадались.
х=993
Ответ: 993
6 (3 задание)
Напишите наименьшее натуральное число x, для которого ИСТИННО высказывание:
((x > 3) И НЕ (x < 4)) ИЛИ (x < 1).
Решение:
1 способ решения:
((x > 3) И НЕ (x < 4)) ИЛИ (x < 1).
Запишем равносильное логическое выражение:
Понимаем, что НЕ(х<4) = (х>=4)
Получаем равносильное логическое выражение:
((х>3) И (х>=4)) ИЛИ (x < 1).
ИЛИ это логическое сложение, оно истинно, когда :
1+1=1
1+0=1
0+1=1
Но выражение х<1 ИСТИННЫМ быть не может, так как нет натурального числа меньшего 1, поэтому при всех х оно будет ЛОЖНЫМ.
Значит, нам подходит только случай 1+0=1
Рассмотрим первые скобки:
И – логические умножение, оно истинно, когда оба высказывания (х>3) И (х>=4) – истинны.
1∙1=1
Значит, мы ищем числа большие 3 и большие, либо равные 4 это числа:
4, 5, 6, 7 и т. д.
Наименьшее 4
Выполним проверку:
(4>3)И (4>=4) ИЛИ (4<1)
1 * 1 + 0 = 1
Для 4 это логическое выражение истинно.
Ответ:4
2 способ решения:
Сначала разберём логическое выражение, и разберёмся, где должна быть ИСТИНА, а где ЛОЖЬ.
Определим основные моменты: ищем НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО; оно должно быть НАИМЕНЬШИМ; логическое высказывание должно быть ИСТИННЫМ (1).
Связка ИЛИ – это логическое сложение.
Когда логическое сложение равняется 1 (т. е. ИСТИННО):
1+1=1
1+0=1
0+1=1
То есть, возможны три варианта.
Разберём вторые скобки
Х<1 , видим, что нет натурального числа меньшего единицы, так как натуральные числа начинаются с 1.
Значит, какое число мы не подставляли бы во вторые скобки, там всегда будет ЛОЖЬ.
Значит, подходит вариант 1+0=1
Разберём первые скобки:
И – это логическое умножение.
Когда логическое умножение =1?
Когда 1∙1=1:
В первых скобка ищем число, которое больше 3 (чтобы была ИСТИНА).
Во вторых скобках ищем число, которое больше, либо равно 4, чтобы была ЛОЖЬ (так как НЕ(ЛОЖЬ)= ИСТИНА).
Подходят числа: 4,5,6,7 и т.д.
Наименьшее 4
Выполним проверку:
Примечание:
Задание могло бы звучать так?:
Напишите наибольшее натуральное число x, для которого ИСТИННО высказывание:
((x > 3) И НЕ (x < 4)) ИЛИ (x < 1).
Думаю, вы знаете ответ….
7 (3 задание)
Определите наименьшее натуральное число x, для которого логическое выражение ИСТИННО:
(НЕ (x ≥ 17) И НЕ (x < 8)) И (x нечётное).
Решение:
1 способ решения:
Выполним логическое отрицание и запишем равносильное логическое выражение.
(НЕ (x ≥ 17) И НЕ (x < 8)) И (x нечётное).
НЕ (х>=17) - это можно понимать, что х не больше и не равен 17, то есть х<17.
Значит,
НЕ (x ≥ 17) = х<17
НЕ (х<8) – это можно прочитать как х не меньше 8, а равен или больше 8, то есть х>=8.
Значит,
НЕ (х<8) = (х>=8)
Тогда получаем равносильное логическое выражение:
(x < 17) И (x >= 8) И (x нечётное)=1
Везде должна быть истина, так как 1∙1=1
Значит, будем искать числа, которые большие или равные 8, меньшие 17 и нечётные.
Это числа: 9, 11, 13, 15
Наименьшее число 9
Ответ: 9
2 способ решения:
Разберём логическое выражение:
Логическая связка И – это логическое умножение, оно истинно когда 1∙1, тогда в маленьких скобках должна быть ЛОЖЬ, так как НЕ(ЛОЖЬ) = ИСТИНА (т. е. НЕ(0)=1).
Видим, что:
Число должно быть нечётным;
Число должно быть меньшим 17 и равным или большим 8 – это числа: 8, 9, 10, 11, 12.13, 14, 15, 16.
Из этих чисел выпишем все нечётные числа: 9, 11, 13, 15.
Наименьшее число 9
Ответ: 9
Примечание:
Изменим условие задачи:
8 (3 задание)
Определите наибольшее натуральное число x, для которого логическое выражение ИСТИННО:
(НЕ (x ≥ 17) И НЕ (x < 8)) И (x нечётное).
Понятно, что это будет число 15.
Ответ: 15
9 (3 задание)
Дано четыре числа: 638, 442, 357, 123.
Для какого из приведённых чисел истинно высказывание:
НЕ (Первая цифра чётная) И НЕ (Сумма цифр чётная)?
В ответе запишите это число.
Решение:
Запишем равносильное высказывание, выполнив логическую операцию отрицание.
1 шаг
НЕ (Первая цифра чётная), это означает, что первая цифра НЕ может быть ЧЁТНОЙ, значит, она будет НЕЧЁТНОЙ.
НЕ (Первая цифра чётная) = (Первая Цифра НЕЧЁТНАЯ)
2 шаг
НЕ (Сумма цифр чётная), это означает, что сумма цифр НЕ может быть ЧЁТНОЙ, то есть она будет НЕЧЁТНОЙ.
НЕ (Сумма цифр чётная)= (Сумма цифр НЕЧЁТНАЯ)
Получаем равносильное высказывание:
(Первая Цифра НЕЧЁТНАЯ) И (Сумма цифр НЕЧЁТНАЯ)
Логическая связка И – это логическое умножение, оно истинно, 1∙1=1, значит, и в первых и во вторых скобках должна быть истина.
То есть мы ищем такое число, чтобы Первая Цифра была НЕЧЁТНАЯ и чтобы Сумма цифр была также НЕЧЁТНАЯ:
638 не подходит (6 – чётная цифра)
442 не подходит (4 – чётная цифра)
357 - подходит (3 нечётная цифра), проверим второе условие:
3+5+7=15 - Сумма цифр НЕЧЁТНАЯ, значит, число 357 даст истину
123 подходит по первому условию, но не проходит по второму условию:
1+2+3=6 - сумма цифр ЧЁТНАЯ
Ответ: 357
10 (3 задание)
Напишите наименьшее натуральное число x, для которого истинно высказывание:
(x < 4) И (x > 1) И (x ≠ 2).
Решение:
И – логическая связка логического умножения.
Мы знаем, что логическое умножение истинно, когда 1∙1=1, это означает, что во всех скобках должна быть истина. 1∙1∙1=1
Значит, икс должен быть меньше четырёх, больше единицы и не равен двум, понимаем, что это три.
Ответ: 3
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ
Система оценивания выполнения отдельных заданий и экзаменационной работы в целом.
Правильное выполнение каждого из заданий 1–12 оценивается 1 баллом. Задание считается выполненным верно, если ответ записан в той форме, которая указана в инструкции по выполнению задания, и полностью совпадает с эталоном ответа. Максимальное количество первичных баллов, которое можно получить за выполнение заданий с кратким ответом, равно 12. Выполнение заданий 13, 15 и 16 с развёрнутым ответом оценивается от 0 до 2 баллов; выполнение задания 14 – от 0 до 3 баллов. Ответы на эти задания проверяются и оцениваются экспертами предметной комиссии (устанавливается соответствие ответов определённому перечню критериев). Максимальное количество баллов, которое можно получить за выполнение заданий с развёрнутым ответом, равно 9. Максимальный первичный балл за выполнение экзаменационной работы – 21.
Требования к предметным результатам освоения основной образовательной программы (3 задание):
Определять истинность составного высказывания
Уровень сложности - базовый.
Примерное время выполнения задания (мин.) - 3
Максимальный балл за задание - 1
Всего заданий – 16;
Из них по типу заданий: с кратким ответом – 12, с развёрнутым ответом – 4. По уровню сложности: Базовый – 10; Повышенный – 3; Высокий – 3.
Максимальный первичный балл за работу – 21. Общее время выполнения работы – 2 часа 30 минут (150 мин.).