🎯 Прогрессии на ОГЭ: Разбор задач БЕЗ формул, через логику и шаги!

Привет, будущий выпускник! 😉 Задачи на прогрессии в ОГЭ только кажутся сложными. На самом деле, их можно решить, просто внимательно читая условие и делая последовательные шаги. Давай разберем самые популярные сюжеты без всяких формул, как если бы мы рисовали лесенку или цепочку событий. Поехали! 🚀

📊 Тип 1: «Лестница вверх» — Найти конкретный член

Здесь всё меняется равномерно: прибавляем или вычитаем одно и то же число. Просто шагаем от начального значения!

Задача 1 (Амфитеатр)

Полное условие: 🏛️ В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 25 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду?

Как рассуждаем:

1. Стартуем! ✨ Первый ряд: 25 мест.
2. Второй ряд: 25 + 3 = 28 мест.
3. Третий ряд: 28 + 3 = 31. Уже видно, что каждый раз +3. ➕
4. Вопрос: сколько раз прибавим 3, чтобы дойти до 8-го ряда? Не 8 раз, а 7 (со 2-го по 8-й ряд)! 🤔
5. 7 шагов * 3 места = 21 место — это наш «надбавок» к первому ряду.
6. 25 + 21 = 46 мест в восьмом ряду. ✅

Ответ: 46. 🎉

Задача 2 (Охлаждение вещества)

Полное условие: 🧪 При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 5°C. Найдите температуру вещества (в °C) через 9 минут после начала опыта, если его начальная температура составляла –8°C.

Как рассуждаем:

1. Начало эксперимента: –8°C. ❄️
2. Температура падает на 5° каждую минуту. Это как шаг вниз.
3. За 9 минут произойдёт 9 таких «шагов вниз»: 9 * (–5) = –45 градусов изменения.
4. Какая стала температура? Стартовая (–8) + изменение (–45) = –53°C. 🥶
5. Можно проверить: -8, -13, -18... через 9 шагов действительно будет -53.

Ответ: –53. ✅

🔍 Тип 2: Найти шаг (разность) прогрессии

Иногда шаг не дан прямо, но его можно вычислить по двум известным членам последовательности.

Задача 3 (Амфитеатр с загадкой)

Полное условие: 🏟️ В амфитеатре 16 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В четвёртом ряду 23 места, а в восьмом ряду 35 мест. Сколько мест в последнем ряду?

Как рассуждаем:

1. У нас есть «опорные точки»: 4-й ряд = 23 места, 8-й ряд = 35 мест. 🎯
2. Между 4-м и 8-м рядом 4 шага (5-й, 6-й, 7-й, 8-й).
3. За эти 4 шага количество мест выросло на: 35 – 23 = 12 мест.
4. Значит, за один шаг (между любыми соседними рядами) добавляется: 12 / 4 = 3 места. Ура, мы раскрыли «секретный код»! 🔑
5. Теперь идём от 8-го ряда к последнему (16-му). Это 8 шагов (9-й, 10-й, ... 16-й).
6. За 8 шагов добавится: 8 * 3 = 24 места.
7. В 8-м ряду было 35. Значит, в последнем: 35 + 24 = 59 мест. 🎊

Ответ: 59. ✅

🧮 Тип 3: Найти сумму всех членов

Нужно не одно число, а общее количество — сумму. Сложим всё аккуратно, используя хитрость с парами!

Задача 4 (Все места в амфитеатре)

Полное условие: 🪑 В амфитеатре 11 рядов. В первом ряду 18 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Как рассуждаем:

1. Выпишем количество мест в каждом ряду, прибавляя по 3:
   Ряд 1: 18
   Ряд 2: 21
   Ряд 3: 24
   Ряд 4: 27
   Ряд 5: 30
   Ряд 6: 33
   Ряд 7: 36
   Ряд 8: 39
   Ряд 9: 42
   Ряд 10: 45
   Ряд 11: 48
2. Теперь нужно сложить 11 чисел. Давай искать пары! 🤝 Заметим, что сумма первого и последнего (18+48=66) равна сумме второго и предпоследнего (21+45=66) и так далее.
3. Сколько таких пар? Для 11 рядов получится 5 полных пар (каждая по 66 мест) и останется одно среднее, непарное число — это число в 6-м ряду (33 места). 🎭
4. Считаем: (5 пар * 66) + средний ряд = (5 * 66) + 33 = 330 + 33 = 363 места. 📊

Ответ: 363. ✅

Задача 5 (Камень в ущелье)

Полное условие: 🪨 Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 15 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые четыре секунды?

Как рассуждаем:

1. Секунда 1: 15 м.
2. Секунда 2: 15 + 10 = 25 м.
3. Секунда 3: 25 + 10 = 35 м.
4. Секунда 4: 35 + 10 = 45 м.
5. Складываем! Можно парами: (15 + 45) + (25 + 35) = 60 + 60 = 120 метров. 💨

Ответ: 120. ✅

➗ Тип 4: Геометрическая прогрессия (деление/умножение)

Здесь изменения происходят не сложением, а умножением или делением на одно и то же число (вдвое, втрое). Строим цепочку!

Задача 6 (Радиоактивный распад)

Полное условие: ⚛️ В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 7 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 640 мг. Найдите массу изотопа через 42 минуты. Ответ дайте в миллиграммах.

Как рассуждаем:

1. Узнаём, сколько «интервалов» по 7 минут прошло: 42 / 7 = 6 раз. ⏱️
2. Каждый раз масса делится на 2. Построим цепочку:
   Старт (0 мин): 640 мг.
   7 мин: 640 / 2 = 320 мг.
   14 мин: 320 / 2 = 160 мг.
   21 мин: 160 / 2 = 80 мг.
   28 мин: 80 / 2 = 40 мг.
   35 мин: 40 / 2 = 20 мг.
   42 мин: 20 / 2 = 10 мг. 🎯
3. Всё просто — мы просто 6 раз поделили начальное число на 2.

Ответ: 10 мг. ✅

Задача 7

Полное условие: 🎾 У Кати есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 540 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 10 см?

Как рассуждаем:

1. Отслеживаем высоту после каждого отскока:
   Отскок 1: 540 см.
   Отскок 2: 540 / 3 = 180 см.
   Отскок 3: 180 / 3 = 60 см.
   Отскок 4: 60 / 3 = 20 см.
   Отскок 5: 20 / 3 ≈ 6.67 см. 🔍
2. Сравниваем с 10 см. На 5-м отскоке высота (6.67 см) впервые стала меньше 10 см. Значит, это и есть искомый отскок!

Ответ: 5. ✅

Задача 8

Полное условие: 🧬 В ходе бета-распада радиоактивного изотопа А каждые 8 минут половина его атомов без потери массы преобразуются в атомы стабильного изотопа Б. В начальный момент масса изотопа А составляла 160 мг. Найдите массу образовавшегося изотопа Б через 40 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Как рассуждаем:

1. Важно: общая масса системы (А+Б) не меняется, всегда 160 мг! Просто часть массы «перетекает» из А в Б. 💧
2. Промежутков времени: 40 / 8 = 5 раз.
3. Давай строить табличку. Всё в мг.

4. Через 40 минут масса стабильного изотопа Б равна 155 мг. 🏁

Ответ: 155 мг. ✅

💎 Итоговая шпаргалка-стратегия

1. Внимание к деталям! 👀 Прочитай условие 2 раза. Выдели: что дано (первое число, шаг, сколько шагов), что нужно найти.
2. Мысленная лесенка. 📈 Если видишь «на ... больше/меньше», строй цепочку сложения/вычитания. Если видишь «в ... раз больше/меньше», строй цепочку умножения/деления.
3. Считай шаги верно! 🧮 От 1-го до 8-го — 7 шагов (8-1=7). Это самая частая ошибка!
4. Для суммы — ищи пары. 🤝 Первый+последний, второй+предпоследний — часто дают одинаковую сумму, что упрощает вычисления.
5. Не бойся писать. ✍️ Сделать 5-10 строчек вычислений на черновике — это быстро и надёжно. Это лучше, чем пытаться вспомнить формулу и ошибиться в спешке.

У тебя всё получится! Решай задачи шаг за шагом, и прогрессии на ОГЭ станут для тебя не страшным монстром, а интересной головоломкой. Удачи на экзамене! Ты сможешь! 💪😊

Математика не даётся? Я помогу! 💪 Индивидуальные занятия онлайн для учеников 1-9 классов. ✨ Понятно ✨ Интересно ✨ Результативно