Найти в Дзене
Математика на 5 / PRO100 репетитор / ВПР, ОГЭ, ЕГЭ
94 подписчика

Задача ВПР 10 класса на вероятность: как найти, что первым и последним выступают пятиклассники (подробное пошаговое решение)

2
1 мин
В школьном конкурсе чтецов участвуют 10 человек: Порядок выступлений определяется жребием.
Какова вероятность, что первым и последним будут выступать пятиклассники? Используем классическое определение вероятности. Вероятность P находится по формуле: Нам нужно: У нас 10 разных участников. И так далее, до последнего 10-го места. Всего вариантов: Это число называют «10 факториал» и записывают как 10!. Все исходы = 10! (то есть число всех перестановок 10 участников равно 10!). Пятиклассников всего 3. 4.1 Выбираем первого выступающего из пятиклассников: Любого из трёх → 3 варианта. 4.2 Выбираем последнего (десятого) выступающего из пятиклассников: он должен быть пятиклассником, но не тем, кто уже выбран первым. После выбора первого остаётся 3 − 1 = 2 пятиклассника → 2 варианта. 4.3 Остальные 8 мест (со 2-го по 9-е) занимают оставшиеся 8 человек: Их можно расставить как угодно.
Число перестановок 8 человек: Благоприятных перестановок: Получаем: Вспомним, что: Подставляем: Сократим дробь:
Оглавление

1. Условие задачи

В школьном конкурсе чтецов участвуют 10 человек:

  • 3 из 5 класса,
  • 4 из 6 класса,
  • 3 из 7 класса.

Порядок выступлений определяется жребием.
Какова вероятность, что первым и последним будут выступать пятиклассники?

2. Вспоминаем формулу вероятности 😊

Используем классическое определение вероятности.

Вероятность P находится по формуле:

-2

Нам нужно:

  1. Посчитать число всех возможных перестановок участников.
  2. Посчитать число перестановок, где первый и последний — пятиклассники.
  3. Разделить второе на первое.

3. Считаем число всех перестановок (исходов)

У нас 10 разных участников.

  • На первое место можно выбрать любого из 10 человек → 10 вариантов.
  • На второе место — любого из оставшихся 9 человек → 9 вариантов.
  • На третье место — любого из оставшихся 8 человек → 8 вариантов.

И так далее, до последнего 10-го места.

Всего вариантов:

-3

Это число называют «10 факториал» и записывают как 10!.

Все исходы = 10! (то есть число всех перестановок 10 участников равно 10!).

4. Считаем благоприятные перестановки (где первый и последний — пятиклассники)

Пятиклассников всего 3.

4.1 Выбираем первого выступающего из пятиклассников:

Любого из трёх → 3 варианта.

4.2 Выбираем последнего (десятого) выступающего из пятиклассников: он должен быть пятиклассником, но не тем, кто уже выбран первым. После выбора первого остаётся 3 − 1 = 2 пятиклассника → 2 варианта.

4.3 Остальные 8 мест (со 2-го по 9-е) занимают оставшиеся 8 человек:

Их можно расставить как угодно.
Число перестановок 8 человек:

-4

5. Перемножаем варианты

Благоприятных перестановок:

-5

Получаем:

-6

6. Считаем вероятность

-7

7. Упрощаем дробь

Вспомним, что:

-8

Подставляем:

-9

Сократим дробь:

-10

✅ Ответ: 1/15

Можно решать и так:

Смотрим только на первое и последнее (десятое) места.

  • Первое место: любой из 10 человек (10 вариантов) 😊
  • Десятое место: любой из оставшихся 9 человек (9 вариантов) 😊

Всего вариантов занять эти два места:

10 ⋅ 9 = 90✨

Из них нам подходят те, где оба — пятиклассники:

  • Первый — любой из трёх пятиклассников (3 варианта) 👦👦👦
  • Десятый — любой из двух оставшихся пятиклассников (2 варианта) 👦👦

Итого подходящих:

3 ⋅ 2 = 6✅

Вероятность:

-11

✅ Ответ: 1/15