Решил поискать ресурсы похожие на Leetcode, но с математическим уклоном и вспомнил про "Проект Эйлер". Если коротко, Project Euler — это культовая платформа, созданная в 2001 году. Её суть — сборник математико-компьютерных задач, которые нельзя решить простым перебором на современном железе. Нужна либо хитрая оптимизация кода, либо (что приветствуется больше) — изящная математическая формула, сводящая проблему к одной строчке.
Так вот, задача ожидает пользователя уже на моменте регистрации. Вы думаете, капча — это искажённые буквы или выбор светофоров? Скучно.
Настоящая интеллектуальная регистрация выглядит иначе. Она не проверяет, человек вы или бот. Она проверяет, любопытный вы человек или просто проходили мимо.
Let none but enquiring minds enter.
Вот и все. Введете ложный ответ — не получите даже форму для логина и пароля. Это сознательный фильтр. Как надпись над дверью в Академию Платона: «Негеометр да не войдёт».
Часть 1: Суммируем на Python
Задача звучит следующим образом:
Найти сумму всех нечетных квадратов от 1 до 204000.
Первое, что приходит в голову — цикл. Проверим каждое число: если оно нечётное — возведём в квадрат и прибавим к сумме. Это метод "грубой силы" (brute force).
Плюс подхода: Он универсален и не требует от нас размышлений над математикой. Мы поручаем всю работу компьютеру.
Минус: Для огромных диапазонов (миллиарды) такое решение будет работать неприемлемо долго. Сложность алгоритма — O(n), то есть время выполнения растёт прямо пропорционально верхней границе.
Часть 2: Формула для суммы нечетных квадратов.
Давайте рассмотрим сумму первых n натуральных чисел:
И включим математическую интуицию. Мы знаем классические суммы:
- Сумма первых n натуральных чисел: S₁(n) = n(n+1)/2 — многочлен степени 2 от n
- Сумма их квадратов: S₂(n) = n(n+1)(2n+1)/6 — многочлен степени 3
- Вообще, можно доказать что S_k(n) многочлен степени k+1 от n.
Поэтому, естественно выдвинуть гипотезу, что сумма квадратов нечетных степеней - многочлен степени 3 от n.
Для определения коэффициентов многочлена третей степени необходимо решить систему трех линейных уравнений — мы ее получим если рассмотрим верхнее равенство при n = 1,2,3. Решать будем используя вычислительный движок Wolfram Alpha.
Подставляем найденные x, y, z в многочлен и получаем вожделенную сумму. Поэтому сумма нечетных квадратов равна S₂н(n) = [n(4n² - 1)]/3
Используя оба найденных решения можем получить ответ — сумма нечетных квадратов до 204000 равна 1414943999966000.
Плюсы подхода через формулу:
- Скорость O(1) — мгновенный результат для любого n
- Экономность — нулевые накладные расходы, минимум памяти
- Масштабируемость — работает с числами любой величины без потерь
- Математическая прозрачность — решение доказуемо и верифицируемо
- Элегантность — превращает вычислительную задачу в алгебраическую
- Образовательная ценность — развивает аналитическое мышление
Заключение:
«Эта небольшая задача — отличный пример того, как математическое мышление преображает программирование. Мы начали с простого цикла, который работал бы 0.2 секунды для 200 тысяч, и пришли к формуле, которая справляется с любыми числами мгновенно.
Главный урок: прежде чем писать код, стоит спросить себя: «А можно ли решить это красивее?». Project Euler учит именно этому — не просто находить ответ, а находить элегантный ответ.
Подписывайтесь на тг, буду выкладывать туда листинги программ и что-нибудь интересное.
👉 Подписаться на Telegram-канал
А какая задача по математике/программированию запомнилась вам своей красотой? Понравился проект Эйлера? Мне понравился). Делитесь в комментариях — будем разбирать в следующих постах!»
#математика #программирование #алгоритмы #python