В выпуклом четырехугольнике АВСD углы ВСА и ВDА равны. Докажите, что углы АВD и АСD тоже равны.
В учебнике И.Ф.Шарыгина есть замечательная теорема об условии принадлежности четырех точек окружности. Если точки С и D расположены по одну сторону от прямой АВ и при этом ∠ВСА = ∠BDA, то точки А, В, С и D лежат на одной окружности.
По условию, углы ВСА и ВDА равны. На чертеже так оно и есть: они вписанные и опираются на одну и ту же дугу АВ.
Доказать, что углы АВD и АСD тоже равны, несложно. Они равны как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу АD.
Вот и всё. Задача решена.
В геометрии Л.С. Атанасяна нет теоремы об условии принадлежности четырёх точек окружности. Девятиклассники, обучающиеся по этому учебнику, могут и не решить данным способом задачу.
Приведу другое доказательство.
1) Рассмотрим треугольники АOD и ВOС (я их закрасила жёлтым цветом). В них углы АОD и ВОС равны как вертикальные, а углы ВСО и ОDА равны по условию.
Вывод 1. Треугольники АOD и ВOС подобны по первому признаку (по двум углам).
Если треугольники подобны, то соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.
Составим пропорциональность всех сходственных сторон: АО:ВО=ОD:ОС=АD:ВС
В дальнейшем нам понадобится пропорциональность только первых двух 👇
2) Рассмотрим треугольники AОВ и DОС 👇
В них углы AОВ и DОС равны как вертикальныe , а стороны АО, ОВ, DО, ОС пропорциональны по доказанному выше (из подобных жёлтых треугольников).
Вывод 2. Треугольники AОВ и DОС подобны по второму признаку (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).
У подобных треугольников соответственныe углы равны. Значит, ∠АВО =∠ОСD.
Вывод 3. Если ∠АВО=∠ОСD, значит ∠АВD=∠AСD, что и требовалось доказать.
Задача 24 отсюда👇
Решения всех остальных показала на канале. Заходите, читайте, подписывайтесь. Там есть подборка 36 заданий ОГЭ.
Дорогие друзья!
Приходят заявки на решение не только 2-ой части ОГЭ, но и первой. Недавно с подписчицей разобрали задание 18. Покажу всю первую часть, где встретился этот номер 👇
Наиболее интересные из них разберу подробно в следующих публикациях.
За каждое задание первой части можно получить 1 балл. А за все правильно выполненные 19 заданий девятиклассники получат 19 баллов или оценку "4".
На этом пока всё. Следующая публикация через неделю.
Желаю всем здоровья, мира и добра.
С вами Любовь, автор канала.